Задача о покрытии полосками

Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так:

Доказать, что круг диаметра $d$ нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше $d$.

Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.

О доказательстве

В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.

Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.

Вариации и обобщения

• В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.

• Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом:

Предположим, выпуклое тело $K$ покрыто конечным числом полосок с ширинами $w_{1},\dots ,w_{n}$, и $v_{1},\dots ,v_{n}$ есть ширины $K$ в соответствующих направлениях. Доказать, что

${\frac {w_{1}}{v_{1}}}+\dots +{\frac {w_{n}}{v_{n}}}\geq 1.$

См. также

• Теорема Монжа — другой классический пример утверждения в доказательстве которого полезно повысить размерность пространства.

Литература

• И. М. Яглом. Т. Банг — В. Фенхель. Решение одной задачи о покрытии выпуклых фигур (рус.) // Матем. просв., сер. 2. — 1957. — № 1. — С. 214—218.
• R. Alexander. A problem about lines and ovals (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75, no. 5. — P. 482—487.
• Bezdek, Károly. Tarski’s plank problem revisited // Geometry—intuitive, discrete, and convex. — 2013. — С. 45—64.
• Gardner, Richard. Relative width measures and the plank problem (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — 1988. — Vol. 135, no. 2. — P. 299—312.
• Bang, Thøger (1950), "On covering by parallel-strips.", Mat. Tidsskr. B.: 49—53
• Bang, Thøger (1951), "A solution of the "plank problem"", Proc. Amer. Math. Soc., 2 (6): 990—993, doi:10.2307/2031721 {{citation}}: Указан более чем один параметр |DOI= and |doi= (справка)