Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения :
x
3
+
y
3
+
z
3
=
w
3
.
{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}.}
В то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах , его полное решение в целых числах на 2023 год неизвестно[1]
Еще Платону было известно, что сумма кубов сторон пифагорейского треугольника также является кубом
3
3
+
4
3
+
5
3
=
6
3
{\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}
[2] Государстве »[3]
Наименьшие натуральные решения:
3
3
+
4
3
+
5
3
=
6
3
{\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}
1
3
+
6
3
+
8
3
=
9
3
{\displaystyle 1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}}
3
3
+
10
3
+
18
3
=
19
3
{\displaystyle 3^{3}+10^{3}+18^{3}=19^{3}}
7
3
+
14
3
+
17
3
=
20
3
{\displaystyle 7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}}
4
3
+
17
3
+
22
3
=
25
3
{\displaystyle 4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}}
18
3
+
19
3
+
21
3
=
28
3
{\displaystyle 18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}}
11
3
+
15
3
+
27
3
=
29
3
{\displaystyle 11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}}
2
3
+
17
3
+
40
3
=
41
3
{\displaystyle 2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}}
6
3
+
32
3
+
33
3
=
41
3
{\displaystyle 6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}}
16
3
+
23
3
+
41
3
=
44
3
{\displaystyle 16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}}
Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:
−
1
3
+
9
3
+
10
3
=
12
3
{\displaystyle -1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}}
−
2
3
+
9
3
+
15
3
=
16
3
{\displaystyle -2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}}
−
2
3
+
15
3
+
33
3
=
34
3
{\displaystyle -2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}}
−
2
3
+
41
3
+
86
3
=
89
3
{\displaystyle -2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}}
−
3
3
+
22
3
+
59
3
=
60
3
{\displaystyle -3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}}
Полные рациональные параметризации [ править | править код ] Г. Харди и Райт (1938)[4] [5]
x
=
−
a
(
b
−
3
c
)
(
b
2
+
3
c
2
)
+
a
4
{\displaystyle x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}}
y
=
a
(
b
+
3
c
)
(
b
2
+
3
c
2
)
−
a
4
{\displaystyle y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}}
z
=
a
3
(
b
−
3
c
)
−
(
b
2
+
3
c
2
)
2
{\displaystyle z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}
w
=
a
3
(
b
+
3
c
)
−
(
b
2
+
3
c
2
)
2
{\displaystyle w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}
Н. Элкис [1]
{
x
=
d
(
−
(
s
+
r
)
t
2
+
(
s
2
+
2
r
2
)
t
−
s
3
+
r
s
2
−
2
r
2
s
−
r
3
)
,
y
=
d
(
t
3
−
(
s
+
r
)
t
2
+
(
s
2
+
2
r
2
)
t
+
r
s
2
−
2
r
2
s
+
r
3
)
,
z
=
d
(
−
t
3
+
(
s
+
r
)
t
2
−
(
s
2
+
2
r
2
)
t
+
2
r
s
2
−
r
2
s
+
2
r
3
)
,
w
=
d
(
(
s
−
2
r
)
t
2
+
(
r
2
−
s
2
)
t
+
s
3
−
r
s
2
+
2
r
2
s
−
2
r
3
)
{\displaystyle {\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t-s^{3}+rs^{2}-2r^{2}s-r^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+rs^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2}+2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{2}-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}}
Леонард Эйлер , 1740 год
x
=
1
−
(
a
−
3
b
)
(
a
2
+
3
b
2
)
{\displaystyle x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})}
y
=
−
1
+
(
a
+
3
b
)
(
a
2
+
3
b
2
)
{\displaystyle y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})}
z
=
−
a
−
3
b
+
(
a
2
+
3
b
2
)
2
{\displaystyle z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}
w
=
−
a
+
3
b
+
(
a
2
+
3
b
2
)
2
{\displaystyle w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}
Линник , 1940 год
x
=
b
(
a
6
−
b
6
)
{\displaystyle x=b(a^{6}-b^{6})}
y
=
a
(
a
6
−
b
6
)
{\displaystyle y=a(a^{6}-b^{6})}
z
=
b
(
2
a
6
+
3
a
3
b
3
+
b
6
)
{\displaystyle z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})}
w
=
a
(
a
6
+
3
a
3
b
3
+
2
b
6
)
{\displaystyle w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})}
x
=
a
2
(
b
6
−
7
)
+
9
a
c
−
3
c
2
{\displaystyle x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}}
y
=
a
2
[
b
3
(
2
b
3
+
9
)
+
7
]
−
3
a
c
(
2
b
3
+
3
)
+
3
c
2
{\displaystyle y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}}
z
=
a
2
b
[
b
3
(
b
3
+
3
)
+
2
]
−
3
a
b
c
(
b
3
+
2
)
+
3
b
c
2
{\displaystyle z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}}
w
=
a
2
b
[
b
3
(
b
3
+
6
)
+
11
]
−
3
a
b
c
(
b
3
+
4
)
+
3
b
c
2
{\displaystyle w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}}
x
=
3
a
2
(
b
6
−
7
)
−
9
a
c
−
c
2
{\displaystyle x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}}
y
=
3
a
2
[
b
3
(
2
b
3
−
9
)
+
7
]
−
3
a
c
(
2
b
3
−
3
)
+
c
2
{\displaystyle y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}}
z
=
3
a
2
b
[
b
3
(
b
3
−
6
)
+
11
]
−
3
a
b
c
(
b
3
−
4
)
+
b
c
2
{\displaystyle z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}}
w
=
3
a
2
b
[
b
3
(
b
3
−
3
)
+
2
]
−
3
a
b
c
(
b
3
−
2
)
+
b
c
2
{\displaystyle w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}}
Роджер Хит-Браун, 1993 год[6]
x
=
9
a
4
{\displaystyle x=9a^{4}}
y
=
3
a
−
9
a
4
{\displaystyle y=3a-9a^{4}}
z
=
1
−
9
a
3
{\displaystyle z=1-9a^{3}}
w
=
1
{\displaystyle w=1}
Морделл , 1956 год
x
=
9
a
3
b
+
b
4
{\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}
y
=
9
a
4
{\displaystyle y=9a^{4}}
z
=
−
b
4
{\displaystyle z=-b^{4}}
w
=
9
a
4
+
3
a
b
3
{\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}
x
=
9
a
3
b
−
b
4
{\displaystyle x=9a^{3}b-b^{4}}
y
=
9
a
4
−
3
a
b
3
{\displaystyle y=9a^{4}-3ab^{3}}
z
=
b
4
{\displaystyle z=b^{4}}
w
=
9
a
4
{\displaystyle w=9a^{4}}
x
=
9
a
3
b
+
b
4
{\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}
y
=
9
a
3
b
−
b
4
{\displaystyle y=9a^{3}b-b^{4}}
z
=
9
a
4
−
3
a
b
3
{\displaystyle z=9a^{4}-3ab^{3}}
w
=
9
a
4
+
3
a
b
3
{\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}
Решение, полученное методом алгебраической геометрии
x
=
3
a
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
−
9
{\displaystyle x=3a\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)-9}
y
=
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
2
−
9
a
{\displaystyle y=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}-9a}
z
=
3
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
+
b
)
+
9
{\displaystyle z=3\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a+b)+9}
w
=
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
2
+
9
(
a
+
b
)
{\displaystyle w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)}
Рамануджан
x
=
3
a
2
+
5
a
b
−
5
b
2
{\displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2}}
y
=
4
a
2
−
4
a
b
+
6
b
2
{\displaystyle y=4a^{2}-4ab+6b^{2}}
z
=
5
a
2
−
5
a
b
−
3
b
2
{\displaystyle z=5a^{2}-5ab-3b^{2}}
w
=
6
a
2
−
4
a
b
+
4
b
2
{\displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2}}
x
=
a
7
−
3
a
4
(
1
+
b
)
+
a
(
2
+
6
b
+
3
b
2
)
{\displaystyle x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})}
y
=
2
a
6
−
3
a
3
(
1
+
2
b
)
+
1
+
3
b
+
3
b
2
{\displaystyle y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}}
z
=
a
6
−
1
−
3
b
−
3
b
2
{\displaystyle z=a^{6}-1-3b-3b^{2}}
w
=
a
7
−
3
a
4
b
+
a
(
3
b
2
−
1
)
{\displaystyle w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)}
x
=
−
a
2
+
9
a
b
+
b
2
{\displaystyle x=-a^{2}+9ab+b^{2}}
y
=
a
2
+
7
a
b
−
9
b
2
{\displaystyle y=a^{2}+7ab-9b^{2}}
z
=
2
a
2
−
4
a
b
+
12
b
2
{\displaystyle z=2a^{2}-4ab+12b^{2}}
w
=
2
a
2
+
10
b
2
{\displaystyle w=2a^{2}+10b^{2}}
Неизвестный автор, 1825 год
x
=
a
9
−
3
6
{\displaystyle x=a^{9}-3^{6}}
y
=
−
a
9
+
3
5
a
3
+
3
6
{\displaystyle y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}}
z
=
3
3
a
6
+
3
5
a
3
{\displaystyle z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}}
w
=
3
2
a
7
+
3
4
a
4
+
3
6
a
{\displaystyle w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a}
Д. Лемер, 1955 год
x
=
3888
a
10
−
135
a
4
{\displaystyle x=3888a^{10}-135a^{4}}
y
=
−
3888
a
10
−
1296
a
7
−
81
a
4
+
3
a
{\displaystyle y=-3888a^{10}-1296a^{7}-81a^{4}+3a}
z
=
3888
a
9
+
648
a
6
−
9
a
3
+
1
{\displaystyle z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1}
w
=
1
{\displaystyle w=1}
В. Б. Лабковский
x
=
4
b
2
−
11
b
−
21
{\displaystyle x=4b^{2}-11b-21}
y
=
3
b
2
+
11
b
−
28
{\displaystyle y=3b^{2}+11b-28}
z
=
5
b
2
−
7
b
+
42
{\displaystyle z=5b^{2}-7b+42}
w
=
6
b
2
−
7
b
+
35
{\displaystyle w=6b^{2}-7b+35}
Харди и Райт
x
=
a
(
a
3
−
2
b
3
)
{\displaystyle x=a(a^{3}-2b^{3})}
y
=
b
(
2
a
3
−
b
3
)
{\displaystyle y=b(2a^{3}-b^{3})}
z
=
b
(
a
3
+
b
3
)
{\displaystyle z=b(a^{3}+b^{3})}
w
=
a
(
a
3
+
b
3
)
{\displaystyle w=a(a^{3}+b^{3})}
x
=
a
(
a
3
−
b
3
)
{\displaystyle x=a(a^{3}-b^{3})}
y
=
b
(
a
3
−
b
3
)
{\displaystyle y=b(a^{3}-b^{3})}
z
=
b
(
2
a
3
+
b
3
)
{\displaystyle z=b(2a^{3}+b^{3})}
w
=
a
(
a
3
+
2
b
3
)
{\displaystyle w=a(a^{3}+2b^{3})}
Г. Александров, 1972 год
x
=
7
a
2
+
17
a
b
−
6
b
2
{\displaystyle x=7a^{2}+17ab-6b^{2}}
y
=
42
a
2
−
17
a
b
−
b
2
{\displaystyle y=42a^{2}-17ab-b^{2}}
z
=
56
a
2
−
35
a
b
+
9
b
2
{\displaystyle z=56a^{2}-35ab+9b^{2}}
w
=
63
a
2
−
35
a
b
+
8
b
2
{\displaystyle w=63a^{2}-35ab+8b^{2}}
x
=
7
a
2
+
17
a
b
−
17
b
2
{\displaystyle x=7a^{2}+17ab-17b^{2}}
y
=
17
a
2
−
17
a
b
−
7
b
2
{\displaystyle y=17a^{2}-17ab-7b^{2}}
z
=
14
a
2
−
20
a
b
+
20
b
2
{\displaystyle z=14a^{2}-20ab+20b^{2}}
w
=
20
a
2
−
20
a
b
+
14
b
2
{\displaystyle w=20a^{2}-20ab+14b^{2}}
x
=
21
a
2
+
23
a
b
−
19
b
2
{\displaystyle x=21a^{2}+23ab-19b^{2}}
y
=
19
a
2
−
23
a
b
−
21
b
2
{\displaystyle y=19a^{2}-23ab-21b^{2}}
z
=
18
a
2
+
4
a
b
+
28
b
2
{\displaystyle z=18a^{2}+4ab+28b^{2}}
w
=
28
a
2
+
4
a
b
+
18
b
2
{\displaystyle w=28a^{2}+4ab+18b^{2}}
x
=
3
a
2
+
41
a
b
−
37
b
2
{\displaystyle x=3a^{2}+41ab-37b^{2}}
y
=
37
a
2
−
41
a
b
−
3
b
2
{\displaystyle y=37a^{2}-41ab-3b^{2}}
z
=
36
a
2
−
68
a
b
+
46
b
2
{\displaystyle z=36a^{2}-68ab+46b^{2}}
w
=
46
a
2
−
68
a
b
+
36
b
2
{\displaystyle w=46a^{2}-68ab+36b^{2}}
x
=
−
4
a
2
+
22
a
b
−
9
b
2
{\displaystyle x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}}
y
=
36
a
2
−
22
a
b
+
b
2
{\displaystyle y=36a^{2}-22ab+b^{2}}
z
=
40
a
2
−
40
a
b
+
12
b
2
{\displaystyle z=40a^{2}-40ab+12b^{2}}
w
=
48
a
2
−
40
a
b
+
10
b
2
{\displaystyle w=48a^{2}-40ab+10b^{2}}
Аджай Чоудхри, 1998 год[7]
d
x
1
=
(
a
4
+
2
a
3
b
+
3
a
2
b
2
+
2
a
b
3
+
b
4
)
+
(
2
a
+
b
)
c
3
,
{\displaystyle dx_{1}=(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})+(2a+b)c^{3},}
d
x
2
=
−
{
a
4
+
2
a
3
b
+
3
a
2
b
2
+
2
a
b
3
+
b
4
−
(
a
−
b
)
c
3
}
,
{\displaystyle dx_{2}=-\{a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}-(a-b)c^{3}\},}
d
x
3
=
c
(
−
a
3
+
b
3
+
c
3
)
,
{\displaystyle dx_{3}=c(-a^{3}+b^{3}+c^{3}),}
d
x
4
=
−
{
(
2
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
)
c
+
c
4
}
,
{\displaystyle dx_{4}=-\{(2a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})c+c^{4}\},}
где числа
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
d
≠
0
{\displaystyle d\neq 0}
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
=
1
{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=1}
Коровьев, 2012 год
x
=
−
(
2
a
2
−
2
a
b
−
b
2
)
c
d
3
−
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
2
c
4
{\displaystyle x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}
y
=
(
2
a
2
−
2
a
b
−
b
2
)
c
3
d
+
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
2
d
4
{\displaystyle y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}
z
=
(
a
2
+
2
a
b
−
2
b
2
)
c
3
d
−
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
2
d
4
{\displaystyle z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}
w
=
(
a
2
+
2
a
b
−
2
b
2
)
c
d
3
−
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
2
c
4
{\displaystyle w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}
где
a
{\displaystyle a}
b
,
c
{\displaystyle b\,,\,c}
d
{\displaystyle d}
[8]
↑ 1 2 Cohen, Henri [англ.] 6.4 Diophantine Equations of Degree 3 // Number Theory – Volume I: Tools and Diophantine Equations (англ.) . — Springer-Verlag , 2007. — Vol. 239. — (Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 978-0-387-49922-2 .↑ Перельман Я.И. Занимательная алгебра / Под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского.. — Издание одиннадцатое. — Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1967. — С. 120 —121. — 200 с.↑ Марио Ливио .φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания . — АСТ, 2015. — С. 110. — ISBN 978-5-17-094497-2 .↑ An introduction to the theory of numbers (англ.) . — First ed.. — Oxford: Oxford University Press , 1938. ↑ Цитата из раздела "1.3.7 Уравнение
x
3
+
y
3
+
z
3
=
t
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=t^{3}}
↑ Источник (неопр.) . Дата обращения: 20 августа 2013. Архивировано 21 января 2022 года.↑ Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Архивная копия от 21 июля 2020 на Wayback Machine . Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251-1257.
↑ Во многих случаях числа
x
,
y
,
z
,
w
{\displaystyle x,y,z,w}
наибольший общий делитель .
![{\displaystyle y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9f2a74ee05af9064a23eb6a7e492253853615c)
![{\displaystyle z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a4ccec2cfd85a91f792192f25547534fedeecb)
![{\displaystyle w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16f6c1b0d1c3ddaba95512140fb6ec21a9ec198)
![{\displaystyle y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c239f633c5e3fac21159d06f48a09fc549df10d)
![{\displaystyle z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7309f88ad7f047def094988fe780279705ad2d)
![{\displaystyle w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f85284d8da305074bdb6b5f9a1f4a583def725)
