Инварианты Карминати — Макленахана
В общей теории относительности инварианты Карминати — Макленахана (англ. Carminati-McLenaghan invariants, CM scalars) составляют один из наборов скалярных инвариантов кривизны. Они включают в себя 16 скаляров, получаемых из тензора Римана.
Определение[править | править код]
Инварианты Карминати — Макленахана состоят из 6 действительных скаляров и 5 комплексных (всего 16 действительных чисел). Они определяются через тензор Вейля , его левый (или правый) дуальный тензор , тензор Риччи и его бесследовую часть
Действительные скаляры:
- (скалярная кривизна, след тензора Риччи),
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Комплексные скаляры:
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Эти инварианты имеют следующие степени относительно компонент кривизны:
- линеен по ним,
- квадратичны,
- кубичны,
- имеют четвёртую степень, а
- — пятую.
Они могут быть выражены также непосредственно через спинор Риччи и спинор Вейля в формализме Ньюмана — Пенроуза (см. ссылку ниже).
Полный набор инвариантов[править | править код]
Вообще полное число алгебраически независимых (то есть не выражаемых друг через друга полиномиально) инвариантов пространства-времени равно 14, однако известно, что любой набор выражений, включающий полный набор инвариантов, должен быть больше этого, при этом часть инвариантов будет связана полиномиальными уравнениями, решения которых не выражаются полиномиально — сизигиями[1].
Для случая сферически-симметричного пространства-времени или пространства-времени с одномерной трансляционной инвариантностью (planar symmetric spacetimes) известно, что инварианты
составляют полное множество инвариантов тензора Римана — то есть включают в себя все алгебраически независимые инварианты. В случае вакуумных, электровакуумных решений или решений с идеальной жидкостью полное множество образуют инварианты Карминати — Макленахана. В более общих случаях требуется большее число инвариантов; определение их точного числа (и возможных связей между ними) представляет собой нерешённую проблему.
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. 9.1 Scalar invariants and covariants // Exact solutions of Einstein's field equations. — 2nd Ed.. — Cambridge University Press, 2003. — P. 113—114. — (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). — ISBN 9780521461368.
Литература[править | править код]
- Carminati, J. and McLenaghan, R. G. Algebraic invariants of the Riemann tensor in a four-dimensional Lorentzian space (англ.) // J. Math. Phys. : journal. — 1991. — Vol. 32. — P. 3135—3140. — doi:10.1063/1.529470.
Ссылки[править | править код]
- Сайт GRTensor II содержит мануал к одноименному пакету с определениями и разбором применений инвариантов Карминати — Макленахана.
На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. |