Инволютивная матрица

Инволютивная матрица — матрица, обратная самой себе, то есть, матрица $A$ , для которой выполнено $A^{2}=E$ .

Свойства

Все инволютивные матрицы являются квадратными корнями из единичной матрицы.
$n\times n$ -матрица $A$ инволютивна тогда и только тогда, когда ${\tfrac {1}{2}}(A+E)$ — идемпотентная матрица.
Инволютивная симметричная матрица является ортогональной матрицей, она представляет изометрию соответствующего линейного пространства.
Блочно-диагональная матрица, состоящая из инволютивных матриц, также является инволютивной.
Матрица, транспонированная к инволютивной, также инволютивна.
Если матрица обладает любыми двумя из свойств: симметричность, ортогональность, инволютивность, то она обладает и третьим^[1].

Матрица отражения является примером инволютивной матрицы.

Другие примеры инволютивных матриц:

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}

(матрица, меняющая строку местами)

{\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}

Также, например, инволютивны все 2×2-матрицы вида:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\{\frac {(1-a^{2})}{b}}&-a\end{pmatrix}}

.