Интеграл Джексона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон.

Определение

[править | править код]

Пусть — функция от вещественной переменной . Интеграл Джексона для определяется как следующий ряд:

В случае, если является другой функцией и означает её -производную, формально её можно записать:

или:

В результате получается -аналог интеграла Римана — Стилтьеса.

Интеграл Джексона как q-первообразная

[править | править код]

Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и Маджида[1]).

Если предположить, что и если значение ограничено на интервале для некоторого то интеграл Джексона сходится к функции на , которая является q-первообразной функции . Более того, непрерывна на с и является первообразной функции в этом классе функций[2].

Примечания

[править | править код]
  1. Kempf, Majid, 1994, с. 6802.
  2. Kac, Cheung, 2002, с. Theorem 19.1.

Литература

[править | править код]
  • Victor Kac, Pokman Cheung. Quantum Calculus. — Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95341-8.
  • Jackson F. H. A generalization of the functions Γ(n) and xn // Proc. R. Soc. — 1904. — Т. 74. — С. 64–72.
  • Jackson F. H. On q-definite integrals // Q. J. Pure Appl. Math.. — 1910. — Т. 41. — С. 193–203.
  • Algebraic q‐integration and Fourier theory on quantum and braided spaces // J. Math. Phys.. — 1994. — Вып. 35. — С. 6802. — doi:10.1063/1.530644.
  • Kempf A., Majid S. Algebraic q‐integration and Fourier theory on quantum and braided spaces, arxiv version. Дата обращения: 24 апреля 2015.