Кривая Циндлера

Кривая Циндлера: все хорды, делящие её длину пополам, одинаковы.

Кривая Циндлера — простая замкнутая плоская кривая, у которой все хорды, делящие её длину пополам, имеют равные длины. Эквивалентное определение — простая замкнутая плоская кривая, все хорды которой, делящие ограниченную ей площадь фигуры пополам, имеют равные длины. Простейший пример такой кривой — окружность.

Впервые в такой общности исследованы австрийским математиком Конрадом Циндлером; дальнейшие результаты получил Герман Ауэрбах в 1938 году, он же впервые назвал класс кривых именем Циндлера. В частности Ауэрбах доказал, что объект, ограниченный кривой Циндлера, обладающий половиной плотности воды, будет плавать в воде в любом положении. Это даёт отрицательный ответ на двумерную версию задачи Станислава Улама о плавающих телах (задача 19 из Шотландской книги), в которой задаётся вопрос, является ли диск единственной фигурой однородной плотности, которая будет плавать в воде в любом положении.

Кривые Циндлера также связаны с задачей о том, возможно ли определить направление движения велосипеда, учитывая только замкнутые заднюю и переднюю колеи.

Примеры кривой Циндлера: для $a=8$ (синяя), $a=16$ (зелёная) и $a=24$ (красная).

Пример — любая из кривых с вещественным параметром $a>4$:

$z(u)=x(u)+iy(u)=e^{2iu}+2e^{-iu}+ae^{iu/2}\;,\ u\in [0;4\pi ]$

является кривой Циндлера. При $a\geqslant 24$ такая кривая выпукла. Для $a\geqslant 8$ эти кривые имеют отношение к кривым постоянной ширины^{[уточнить]}.

Ссылки

• Herman Auerbach: Sur un problème de M. Ulam concernant l’équilibre des corps flottants (PDF; 796 kB), Studia Mathematica 7 (1938), 121—142.
• K. L. Mampel: Über Zindlerkurven, Journal für reine und angewandte Mathematik 234 (1969), 12-44.
• Konrad Zindler: Über konvexe Gebilde. II. Teil, Monatshefte für Mathematik und Physik 31 (1921), 25-56.
• H. Martini, S. Wu: On Zindler Curves in Normed Planes, Canadian Mathematical Bulletin 55 (2012), 767—773.
• J. Bracho, L. Montejano, D. Oliveros: Carousels, Zindler curves and the floating body problem, Periodica Mathematica Hungarica 49 (2004), 9-23.
• P. M. Gruber, J.M. Wills: Convexity and Its Applications, Springer, 1983, ISBN 978-3-0348-5860-1, p. 58.