Критерий Бартлетта

Критерий Бартлетта (англ. Bartlett's test) — статистический критерий, позволяющий проверять равенство дисперсий нескольких (двух и более) выборок. Нулевая гипотеза предполагает, что рассматриваемые выборки получены из генеральных совокупностей, обладающих одинаковыми дисперсиями.

Критерий Бартлетта является параметрическим и основан на дополнительном предположении о нормальности выборок данных. Поэтому перед применением критерия Бартлетта рекомендуется выполнить проверку нормальности. Критерий Бартлетта очень чувствителен к нарушению данного предположения.

Плюсы:

• объёмы выборок могут быть различными (это его преимущество перед критерием Кохрена),
• критерий Бартлетта выявляет отклонения, как в наибольшую, так и в наименьшую стороны;

Минусы:

• сложность вычислений (критерий Кохрена требует меньше вычислительных затрат. Особо это актуально в случае вычислений «вручную»),
• объём каждой выборки должен быть больше трёх,
• критерий очень чувствителен к нарушению предположения о нормальности закона распределения исходных данных.

Примеры задач — применение критерия Бартлетта

Пример 1. Критерий Бартлетта может быть использован как вспомогательный — например, при проверке некоторого другого статистического теста, использующего равенство дисперсий. Например, критерий Бартлетта может быть использован в качестве вспомогательного в аналитической химии. При проведении межлабораторных экспериментов возникает тип задач, когда один образец анализируется в нескольких лабораториях, а затем полученные результаты обрабатываются и обобщаются. Таким образом, есть $k$ выборок в общем случае различного размера. Необходимо сравнить средние значения полученных выборок. Для этого сперва нужно убедиться, что дисперсии однородны с помощью критерия Бартлетта. Если дисперсии неоднородны, то сравнение средних проводить нельзя.

Пример 2. Измеряется размер некоторого изделия. Всего проводится $k$ серий экспериментов, состоящих из $n_{i}$ ($i=1,...,k$) измерений. При этом серии измерений могут быть отнесены к разным экспериментаторам, могут применяться различные методики измерения. В условиях выполнения предположения о нормальности распределения необходимо сравнить выборки на однородность дисперсий.

Пример 3. По результатам наблюдения за пропускной способностью канала в различные дни испытаний сформированы упорядоченные выборки. При заданном уровне значимости $\alpha$ необходимо проверить однородность выборок.

Замечания:

• Для расчётов при проверке однородности дисперсий наиболее сложным оказывается случай, когда выборочные дисперсии получены из выборок неодинакового объёма или по результатам предварительной обработки из данных были исключены значения, признанные как промахи. Тогда рекомендуется применять критерий Бартлетта.
• В связи с вычислительной сложностью данного критерия иногда на практике стараются отказаться от него, если есть такая возможность.

Описание критерия

Имеется $k$ выборок $x_{1}^{n_{1}},...,x_{k}^{n_{k}}$ объёмом $n_{i}$ ($i=1,...,k$) каждая. $X_{ji}$ — j-е значение (измерение) в i-й серии. Дисперсии выборок и выборочные оценки дисперсий обозначим через $\sigma _{i}^{2}$ и $s_{i}^{2}$ соответственно.

Дополнительные предположения

• Выборки $x_{1}^{n_{1}},...,x_{k}^{n_{k}}$ являются нормальными. Критерий Бартлетта очень чувствителен к отклонениям от нормальности распределения исследуемых случайных величин. Если нет уверенности в нормальности распределения, им не рекомендуется пользоваться. А при одинаковом объёме всех выборок вместо критерия Бартлетта лучше применять критерий Кохрена.

Нулевая гипотеза

Критерий Бартлетта проверяет гипотезу $H_{0}$ о том, что дисперсии всех $k$ выборок одинаковы.

$H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=...=\sigma _{k}^{2}$

Альтернативная гипотеза $H_{1}$: существует, по крайней мере, две выборки $i$ и $j$ ($i\neq j$) с несовпадающими дисперсиями.

$H_{1}:\sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}$ (для некоторых $i\neq j$).

Статистика критерия Бартлетта

Статистика критерия Бартлетта вычисляется в соответствии с соотношением:

$T={\frac {M}{c}}$.

Здесь

$M=(N-k)\cdot \ln(s_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\cdot \ln(s_{i}^{2})$,

$c=1+{\frac {1}{3\cdot (k-1)}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {1}{n_{i}-1}}\right)-{\frac {1}{(N-k)}}\right)$,

где $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$ и $s_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\cdot s_{i}^{2}$ — суммарная оценка дисперсий,

$s_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum \limits _{j=1}^{n_{i}}\left(X_{ji}-{\bar {X_{i}}}\right)^{2}$,

${\bar {X_{i}}}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\mathrm {X} _{ji}$.

При $n_{i}>3\;(i=1,...,k)$ и справедливости нулевой гипотезы статистика критерия Бартлетта имеет распределение $\chi _{k-1}^{2}$ хи-квадрат с (k-1) степенями свободы.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$)

Если $T>\chi _{k-1,\alpha }^{2}$, то на уровне значимости $\alpha$ нулевая гипотеза $H_{0}$ отвергается в пользу альтернативы $H_{1}$. Здесь $\chi _{k-1,\alpha }^{2}$ — квантиль распределения хи-квадрат с (k-1) степенями свободы.

Примечание

При отклонении от нормальности рекомендуется вместо статистики $T$ пользоваться её модификацией:

$T^{*}={\frac {f_{2}\cdot M}{f_{1}\cdot \left({\frac {f_{2}^{2}}{f_{2}(2-c)+c}}-M\right)}}$,

где $f_{1}=k-1$, $f_{2}={\frac {k+1}{(c-1)^{2}}}$.

Статистика $T^{*}$ имеет $F$-распределение с $f_{1}$ и $f_{2}$ степенями свободы. Поэтому нулевую гипотезу следует отклонить, если $T^{*}>F_{\alpha }(f_{1},f_{2})$.

Литература

• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
• Б.Ю. Лемешко, Е.П. Миркин. Критерии Бартлетта и Кокрена в измерительных задачах при вероятностных законах, отличающихся от нормального // Измерительная техника. — 2004. — Т. №10. — С. 10—16.
• Г.Б. Ходасевич. Обработка экспериментальных данных на ЭВМ. Архивная копия от 1 июля 2012 на Wayback Machine

См. также

• Критерий Фишера
• Критерий Кохрена
• Проверка статистических гипотез

Ссылки

• NIST page on Bartlett’s test
• Основы дисперсионного анализа
• Применение дисперсионного анализа в аналитической химии
• Определения терминов теории вероятностей и прикладной статистики
• О применении и мощности критериев однородности дисперсий Фишера, Бартлетта, Кокрена, Хартли, Левене на сайте Новосибирского государственного технического университета