Логарифмический признак сходимости

Логарифмический признак сходимости — признак сходимости числовых рядов с положительными членами.

Фактически этот признак сходимости сводится к сравнению исследуемого на сходимость ряда с обобщённым гармоническим рядом (рядом Дирихле)

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ с положительными членами $a_{n}>0$ сходится, если существует $N$ такое, что для всякого $n\geqslant N$ выполняется неравенство:

$L_{n}={\frac {\ln {\frac {1}{a_{n}}}}{\ln n}}\geqslant 1+\delta ,$

где $\delta >0$ не зависит от $n$.

Если же $\exists N\colon \forall n\geqslant N\quad L_{n}\leqslant 1-\delta$, где $\delta >0$, то ряд расходится.

А если же $\lim _{n\to \infty }L_{n}=1$, то ничего определенного о сходимости или расходимости сказать нельзя.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$L=\lim _{n\to \infty }L_{n}$

то при $L>1$ ряд сходится, а при $L<1$ — расходится.

Литература

• Логарифмичекский признак сходимости — статья из Математической энциклопедии