Матрица кватернионов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Матрица кватернионов — это матрица, элементами которой являются кватернионы.

Матричные операции

[править | править код]

Кватернионы образуют некоммутативное кольцо и, таким образом, сложение и умножение матриц кватернионов могут быть определены так же, как и для матриц над любым другим кольцом.

Сложение. Сумма двух матриц кватернионов A и B определяется обычным способом как поэлементное сложение:

Умножение. Умножение двух кватернионных матриц A и B также следует обычному определению для матричного умножения. Для того чтобы оно было определено число столбцов матрицы A должно равняться числу столбцов матрицы B. Каждый элемент i-й строки и j-го столбца получаемой матрицы равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы:

Например, для матриц

the product is

Так как кватернионное умножение не коммутативно, необходимо позаботиться о сохранении порядка сомножителей при вычислении произведения матриц.

Единичным элементом, как и ожидается, будет диагональная матрица I = diag(1, 1, … , 1). Умножение следует обычным законам ассоциативности и дистрибутивности. След матрицы определяется как сумма её диагональных элементов, но в общем случае:

Левое скалярное произведение определяется как:

Снова, так как умножение не коммутативно, то необходимо побеспокоиться о порядке сомножителей.[1]

Детерминанты

[править | править код]

Не существует естественного способа определить детерминант для (квадратной) матрицы кватернионов так, чтобы его значения были кватернионами.[2] Тем не менее могут быть определены комплекснозначные детерминанты.[3] Кватернион a + bi + cj + dk можно представить как комплексную матрицу 2×2:

Так задаётся отображение из Ψmn из кватернионных матриц m на n в комплексные матрицы 2m by 2n посредством замены каждого кватерниона на его представление в виде квадратной матрицы 2 на 2. Комплекснозначный детерминант квадратной матрицы кватернионов A тогда можно определить как det(Ψ(A)). Много обычных правил для детерминантов остаётся верными, в частности n на n матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.

Приложения

[править | править код]

Матрицы кватернионов используются в квантовой механике[4] и при рассмотрении задачи многих тел.[5]

Примечания

[править | править код]
  1. Tapp, Kristopher. Matrix groups for undergraduates (неопр.). — AMS Bookstore, 2005. — С. 11 ff. — ISBN 0-8218-3785-0.
  2. Helmer Aslaksen. Quaternionic determinants (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 1966. — Vol. 18. — P. 57—65. — doi:10.1007/BF03024312.
  3. E. Study. Zur Theorie der linearen Gleichungen (German) // Acta Mathematica. — 1920. — Т. 42. — С. 1—61. — doi:10.1007/BF02404401.
  4. N. Rösch. Time-reversal symmetry, Kramers' degeneracy and the algebraic eigenvalue problem (неопр.) // Chemical physics. — 1983. — Т. 80, № 1—2. — С. 1—5. — doi:10.1016/0301-0104(83)85163-5.
  5. Klaus Gürlebeck; Wolfgang Sprössig. Quaternionic matrices // Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers (англ.). — Wiley, 1997. — P. 32—34. — ISBN 978-0-471-96200-7.