Множество Мейера

Множество Мейера или почти решётка – это относительно плотное множество точек в евклидовой плоскости или евклидовом пространстве большей размерности, такое что его разность Минковского с собой равномерно дискретна. Множества Мейера имеют несколько эквивалентных описаний и названы именем Ива Мейера, который ввёл их и начал изучать в контексте диофантовых приближений. В современное время множества Мейера больше известны как математическая модель квазикристаллов, однако работа Мейера предваряла открытие квазикристаллов более чем на десятилетие и полностью была вдохновлена вопросами теории чисел.

Определение и описание

Подмножество X метрического пространства относительно плотно, если существует число r, такое что для всех точек множества X расстояние до остальных точек X не превосходит r. Подмножество равномерно дискретно, если существует число $\varepsilon$, такое что никакие две точки X не находятся ближе друг от друга, чем на расстоянии $\varepsilon$. Когда множество относительно плотно и, одновременно, равномерно дискретно, оно называется множеством Делоне. Если X является подмножеством векторного пространства, его разность Минковского $X-X$ – это множество $\{x-y\mid x,y\in X\}$ различных пар элементов множества X.

С этими определениями множество Мейера можно определить как относительно плотное множество X, для которого $X-X$ равномерно дискретно. Эквивалентно, это множество Делоне, для которого $X-X$ является множеством Делоне, или множество Делоне X, для которого существует конечное множество F, такое что $X-X\subset X+F$.

Некоторые дополнительные эквивалентные описания используют множество

$X^{\varepsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leqslant \varepsilon {\text{ для всех }}x\in X\},$

определённое для данного множества X и числа $\varepsilon$ и аппроксимирующее (при стремлению $\varepsilon$ к нулю) определение обратной решётки. Относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда

• Для любого $\varepsilon >0,X^{\varepsilon }$ относительно плотно, или, эквивалентно,
• Существует $\varepsilon$ ($0<\varepsilon <1/2$), для которого $X^{\varepsilon }$ относительно плотно.

Характер замкнутого по сложению подмножества векторного пространства – это функция, отображающая множество в единичную окружность на плоскости комплексных чисел таким образом, что сумма любых двух элементов отображается в произведение их образов. Множество X является гармоничным множеством, если для любого характера $\chi$ на аддитивном замыкании X и любого $\varepsilon >0$ существует непрерывный характер на всём пространстве, $\varepsilon$-аппроксимирующий $\chi$. Тогда относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда оно гармонично.

Примеры

Множествами Мейера являются

• Точки любой решётки
• Вершины плиток ромбической мозаики Пенроуза .
• Сумма Минковского другого множества Мейера с любым непустым конечным множеством
• Любое относительно плотное подмножество другого множества Мейера .