Направленное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Направленное множество — непустое множество A с заданным на нем рефлексивным транзитивным отношением ≤ (то есть предпорядком), обладающее дополнительным свойством: у любой пары элементов из A есть верхняя грань в A.

Направленные множества являются обобщением линейно упорядоченных множеств, то есть любое линейно упорядоченное множество является направленным (для частично упорядоченного множества это, вообще говоря, неверно). В топологии направленные множества используются для определения направленностей, являющихся обобщением последовательности и объединяющих понятие предела, используемого в математическом анализе.

Примеры направленных множеств:

  • Множество натуральных чисел N со стандартным отношением ≤ есть направленное множество.
  • Множество N N пар натуральных чисел становится направленным множеством, если определить отношение следующим образом: (n0 , n1) ≤ (m0, m1) тогда и только тогда, когда n0m0 и n1m1.
  • Множество разбиений интервала при этом если разбиение является подразбиением .
  • Если x0 — вещественное число, мы можем сделать из R направленное множество: ab тогда и только тогда, когда
    |ax0| ≥ |bx0|. Это пример направленного множества, не являющегося частично упорядоченным.
  • Тривиальным примером частично упорядоченного множества, не являющегося направленным, является множество {a, b}, в котором определены лишь отношения aa и bb.
  • Если T — топологическое пространство, а x0 — точка из T, то мы можем задать направление на множестве окрестностей x0 следующим образом: UV тогда и только тогда, когда U содержит V.
    • Для всех U: UU; так как U содержит себя.
    • Для всех U,V,W: если UV и VW, то UW; так как если U содержит V и V содержит W, то U содержит W.
    • Для всех U, V: существует множество U V такое, что UU V и VU V; так как и U, и V содержат U V.
  • В частично упорядоченном множестве P, множество нижних границ некоторого элемента из P, то есть множество вида {a| a из P, ax} где x — фиксированный элемент из P, является направленным множеством.

Направленные подмножества

[править | править код]

Отношение направления может не быть антисимметричным, и, следовательно, направленные множества не всегда являются частично упорядоченными. Однако термин направленное множество также часто употребляется в контексте частично упорядоченных множеств. Таким образом, подмножество A частично упорядоченного множества (P,≤) называется направленным подмножеством, если A непусто, и для всех a и b из A существует c из A такой, что ac и bc. Здесь отношение порядка на элементах из A наследуется от P; поэтому рефлексивность и транзитивность не требуются в явном виде.

Литература

[править | править код]
  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.