Неравенство треугольника Ружа

Неравенство треугольника Ружа связывает все попарные множества разностей трёх множеств в произвольной группе.

Формулировка

Пусть $(G,+)$ — группа и $U,V,W\subset G$.

Тогда $|U|\cdot |V-W|\leq |V-U|\cdot |U-W|$, где $A-B=\left\lbrace {a-b:a\in A,b\in B}\right\rbrace$.

Неравенство треугольника со сложением

Имеется ещё одно неравенство, аналогичное неравенству треугольника Ружи, которое, однако, доказывается сложнее, чем классическое - с использованием неравенство Плюннеке-Ружа, которое само доказывается с испооьзованием классического неравенства Ружи.

$|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|$

Доказательство

Рассмотрим функцию $\varphi :(V-U)\times (U-W)\to (V-W)$, определяемую как $\varphi (x,y)=x+y$. Тогда для каждого образа $v-w\in V-W$ существует не менее $|U|$ различных прообразов вида $(v-u,u-w),u\in U$. Это означает, что общее число прообразов не меньше, чем $|V-W||U|$. Значит, $|U||V-W|\leq |V-U||U-W|$

Аналогия с неравенством треугольника

Рассмотрим функцию, определяющую "расстояние между множествами" в терминах разности Минковского:

$\rho (A,B)=\log {\frac {|A-B|}{\sqrt {|A||B|}}}$

Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство $\rho (A,A)=0$, но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:

$\rho (V,W)\leq \rho (V,U)+\rho (U,W)$

Следствия

Подставив $V=W=A,U=B$, получим

$|B|\cdot |A-A|\leq |A-B|^{2}$

$|A-A|\leq \left({\frac {|A-B|}{|B|}}\right)\cdot |A-B|$

$|A-B|\leq K\cdot |B|,K\in {\mathbb {R} }\Rightarrow |A-A|\leq K^{2}\cdot |B|$

Подставив $W=-W'$, получим

$|U|\cdot |V+W'|\leq |V-U|\cdot |U+W'|$

Подставив $U=-U'$, получим

$|U'|\cdot |V-W|\leq |V+U'|\cdot |U'+W|$.

См. также

• Неравенство Плюннеке — Ружа