Обсуждение:Теорема Реллиха

Источник?

В статье был такой кусок:

Теорема Реллиха позволяет сразу понять существенное отличие теорий линейных и нелинейных уравнений: общее решение нелинейного уравнения обязано^{[источник?]} иметь особенности, положение которых зависит от начальных данных.

Он был откомментирован Участник:Infovarius так "как-то это не следует". Я думаю, что имеется ввиду след.

Все особые точки общего решения $x=x(t,C)$ линейного дифференциального уравнения ${\dot {x}}=p(t)x+q(t)$ исчерпываются особыми точками коэффициентов $p$ и $q$, и, следовательно, не зависят от $C$. Эти особые точки без труда вычисляются по заданным $p$ и $q$ и легко интерпретируются в терминах локальной теоремы Коши как те самые значения $t_{0}$, при которых начальная задача

${\dot {x}}=p(t)x+q(t),\quad x(t_{0})=x_{0}$

не удовлетворяет условиям теоремы Коши. Но по теореме Реллиха общее решение $x=x(t,C)$ нелинейного уравнения ${\dot {x}}=f(x,t)$ даже с целой правой частью не является целой функцией и, следовательно, имеет особенности при каких-то значениях $t$, которые, зависят, вообще говоря, от $C$. И это – при том, что начальная задача

${\dot {x}}=f(x,t),\quad x(t_{0})=x_{0}$

при всех комплексных значениях $t_{0},\,x_{0}$ удовлетворяет всем условиям теоремы Коши. Поэтому вычисление положения этих точек представляет весьма трудную задачу, не имеющую аналога в теории линейных уравнений.

Я не рискнул разместить это длинное размышление в этой статье. Тем более, что в ВП пока нет статьи о подвижных особых точках ОДУ.--Bkmd 21:13, 4 мая 2009 (UTC)

Точнее говоря, меня смутило следующее: разве у любого нелинейного уравнения есть особые точки? Из того, что у любого линейного их нет, это не следует. infovarius 16:40, 5 мая 2009 (UTC)

Логика такая: из теоремы Реллиха следует, что общее решение нелинейного уравнения с целой правой частью не может быть всюду голоморфной (целой) функцией t, следовательно, оно где-то на комплексной плоскости имеет особую точку. Рискну предположить, что Вас смутили примеры, рассмотренные на вещественной прямой. Но при этом из теоремы Реллиха не следует, что у общее решение линейного уравнения является целой функцией. Это следует из известной формулы, которая получается методом вариации постоянной и была известна лет за 200 до работ Реллиха.

Впрочем, прочитав в en-wiki «…Rellich's Theorem: that a differential equation w′ = f(z, w), where f(z, w) is a linear entire function in w, has at most countably many entire solutions w(z).», и тот же текст в de-wiki, я уж начал сомневаться. Я проверил по книге Виттиха, добавил ссылку на работу Реллиха. Все-таки, правильная формулировка приведена в нашей статье. --Bkmd 18:44, 7 мая 2009 (UTC)