Октаэдрическая пирамида

Октаэдрическая пирамида
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной октаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип	Многогранная пирамида
Символ Шлефли	( ) ∨ {3,4} ( ) ∨ r{3,3} ( ) ∨ s{2,6} ( ) ∨ [{4} + { }] ( ) ∨ [{ } + { } + { }]
Ячеек	9
Граней	20
Рёбер	18
Вершин	7
Двойственный политоп	Кубическая пирамида

Ортогональная двумерная проекция равногранной октаэдрической пирамиды, вращающейся вокруг плоскости, проходящей через четыре ребра её основания

Октаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида, имеющая основанием октаэдр.

Описание

Ограничена 9 трёхмерными ячейками — 8 тетраэдрами и 1 октаэдром. Октаэдрическая ячейка окружена всеми восемью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена октаэдрической и тремя тетраэдрическими.

Её 20 двумерных граней — треугольники. 8 граней разделяют октаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 12 — две тетраэдрических.

Имеет 18 рёбер. На 12 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (октаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 6 — по четыре грани и по четыре ячейки (только тетраэдрические).

Имеет 7 вершин. В 6 вершинах сходятся по 5 рёбер, по 8 граней и по 5 ячеек (октаэдрическая и четыре тетраэдрических); в 1 вершине — 6 рёбер, 12 граней и все 8 тетраэдрических ячеек.

Равногранная октаэдрическая пирамида

Если все рёбра октаэдрической пирамиды имеют равную длину $a$, её грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

$V_{4}={\frac {1}{12}}\;a^{4}\approx 0{,}0833333a^{4},$

$S_{3}={\sqrt {2}}\;a^{3}\approx 1{,}4142136a^{3}.$

Высота пирамиды и радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будут равны

$H=R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

$\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

$r={\frac {\sqrt {2}}{6}}\;a\approx 0{,}2357023a.$

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в центре её основания.

Такую пирамиду можно получить из шестнадцатиячейника, разрезав его на две равные части.

Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен $120^{\circ },$ как и в шестнадцатиячейнике. Угол между октаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен $60^{\circ }.$

В координатах

Равногранную октаэдрическую пирамиду с длиной ребра ${\sqrt {2}}$ можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $\left(\pm 1;\;0;\;0;\;0\right),$
• $\left(0;\;\pm 1;\;0;\;0\right),$
• $\left(0;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$
• $\left(0;\;0;\;0;\;1\right).$

Начало координат $(0;\;0;\;0;\;0)$ будет центром описанной и обеих полувписанных гиперсфер многоячейника.

Заполнение пространства

Так как две равногранных октаэдрических пирамиды образуют шестнадцатиячейник, а шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, равногранная октаэдрическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.

Ссылки

• Richard Klitzing. Octahedral pyramid