Оператор Дирака

Оператор Дирака — общее название дифференциальных операторов, которые являются квадратными корнями некоторого оператора второго порядка, чаще всего оператора Лапласа и его аналогов.

То есть оператор $D$ является оператором Дирака для данного оператора второго порядка $\Delta$, если

$D^{2}=\Delta .$

В физике высоких энергий это требование часто ослабляется: предполагается только, что главная часть $D^{2}$ совпадает с $\Delta$.

Примеры

• $D=-i\cdot \partial _{x}$ является оператором Дирака на касательном расслоении над прямой.
• Для дифференциальных форм на римановом многообразии оператор Дирака можно определить как

$D=\sum _{i}e_{i}\bullet \nabla _{e_{i}},$

где $e_{i}$ — ортонормированный репер в точке, $\nabla$ — связность, а $\bullet$ — умножение Клиффорда. Его квадрат

$D^{2}=\sum _{i,j}e_{i}\bullet e_{j}\bullet \nabla _{e_{i},e_{j}}^{2}$

называется лапласианом Дирака; для функций он совпадает с оператором Лапласа — Бельтрами, но он также определён на формах всех степеней.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.