Основная лемма вариационного исчисления

Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать.

Базовая версия

Если непрерывная функция $f$ на открытом интервале $(a,b)$ удовлетворяет равенству

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot h(x)dx=0$

для всех финитных гладких функций $h$ на $(a,b)$, тогда $f$ является тождественным нулём.

Замечания

• Гладкость может означать что функция $f$ бесконечно дифференцируема, но чаще интерпретируется как то, что функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема или даже непрерывно дифференцируема или даже просто непрерывна.
• Финитность означает, что $h$ обнуляется за пределами замкнутого интервала $[c,d]\subset (a,b)$, но часто достаточно условие того, что $h$ (или $h$ и ряд его производных) обращается в нуль на концах интервала $[a,b]$, в этом случае $h$ предполагается определённой на интервале $[a,b]$.

Литература

• Jost, Jürgen & Li-Jost, Xianqing. Calculus of variations (англ.). — Cambridge University, 1998.
• Gelfand, I. M. & Fomin, S. V. Calculus of variations. — Prentice-Hall, 1963.