Относительная внутренность

Относительная внутренность множества — это уточнение концепции внутренности, которое может быть более полезно при работе с множествами низкой размерности в пространствах высокой размерности.

Определение

Формально, относительная внутренность $r$ множества $S$ (которая обозначается как $\operatorname {relint} (S)$) определяется как его внутренность в аффинной оболочке множества $S$. Другими словами,

$\operatorname {relint} (S):=\{x\in S|\exists \varepsilon >0,N_{\varepsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},$

где $\operatorname {aff} (S)$ означает аффинную оболочку множества $S$, а $N_{\varepsilon }(x)$ означает шар радиуса $\varepsilon$ с центром в $x$. Может быть использована любая метрика для построения шара, все метрики определяют одно и то же множество в качестве относительной внутренности.

Для любого непустого выпуклого множества $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ относительная внутренность может быть определена как

$\operatorname {relint} (C):=\{x\in C|\forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}.$.

См. также

• Внутренность
• Алгебраическая внутренность
• Квазотносительная внутренность

Литература для дальнейшего чтения

• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — С. 23. — ISBN 0-521-83378-7.