Отображение Веронезе

Отображение Веронезе — отображение из $\mathbb {R} ^{n+1}$ в пространство симметричных матриц $(n+1){\times }(n+1)$ определённое формулой

$V\colon (x_{0},\dots ,x_{n})\to {\begin{pmatrix}x_{0}\cdot x_{0}&x_{0}\cdot x_{1}&\dots &x_{0}\cdot x_{n}\\x_{1}\cdot x_{0}&x_{1}\cdot x_{1}&\dots &x_{1}\cdot x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}\cdot x_{0}&x_{n}\cdot x_{1}&\dots &x_{n}\cdot x_{n}\end{pmatrix}}.$

Заметим, что $V(x)=V(-x)$ для любого $x\in \mathbb {R} ^{n+1}$. В частности, сужение $V$ на единичную сферу $\mathbb {S} ^{n}$ факторизуется через проективное пространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$. Это так назывемое называется вложением Веронезе $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$. Образ вложения Веронезе называется подмногообразием Веронезе, а при $n=2$ — поверхностью Веронезе.

Свойства

• Матрицы в образе вложении Веронезе задают проекции на одномерные подпространства в $\mathbb {R} ^{n+1}$. Их можно описать уравнениями

  $A^{T}=A,\quad \mathrm {tr} \,A=1,\quad A^{2}=A.$

То есть матрицы в образе $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ имеют единичный след и единичную норму. В частности верно следующее.

• Образ лежит в афинном пространстве размерности $n+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}}$.
• Образ лежит в $(n-1+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}})$-сфере радиуса $r_{n}={\sqrt {1-{\tfrac {1}{n+1}}}}$
  • Более того образ является минимальным подмногообразием в этой сфере.

• Вложение Веронезе индуцирует риманову метрику $2\cdot g$, где $g$ обозначает каноническую метрику на $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}$.

• Вложение Веронезе переводит каждую геодезическую $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}$ в окружность радиуса ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$.
  • В частности, все нормальные кривизны образа равны ${\sqrt {2}}$.

• Многообразие Веронезе является внешне симметрическим, то есть отражение в любой его нормальном пространстве переводит многообразие в себя.

Вариации и обобщения

Ананлоги вложений Веронезе строятся для комплексных и кватернионных проективных пространстсв, а также для плоскости Кэли.

Литература

• Cecil, T. E.; Ryan, P. J. Tight and taut immersions of manifolds Res. Notes in Math., 107, 1985.
• K. Sakamoto, Planar geodesic immersions, Tohoku Math. J., 29 (1977), 25–56.