Плазменные волны в графене

Как и в обычных полупроводниках, в графене электронно-дырочный газ можно рассматривать как плазму, и, соответственно, ставить вопрос о том, какие волны могут наблюдаться в твёрдом теле. Благодаря отличию закона дисперсии от параболического ожидается, что и свойства волн будут другими. Плазменные волны в ДЭГ в графене теоретически рассматривались в работе .

Вывод

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

${\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} _{p}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+e{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {r} }}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0.\qquad (4.1)$

Здесь функция распределения электронов $f=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ зависит от координат, импульсов и времени. $\phi =\phi (\mathbf {r} ,t)$ — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты $\mathbf {p} =(p_{x},p_{y})$. Также скорость электронов задаётся формулой $\mathbf {v} _{\mathbf {p} }=v_{F}{\frac {\mathbf {p} }{p}}$, где $p=|\mathbf {p} |$.

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

${\frac {V_{g}-\phi }{W_{g}}}={\frac {4\pi e}{\varepsilon }}\Sigma ,\qquad (4.2)$

где $V_{g}$ — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, $W_{g}$ — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, а концентрация электронов $\Sigma$ задаётся по формуле

$\Sigma ={\frac {g_{s}g_{v}}{(2\pi \hbar )^{2}}}\int {d^{2}\mathbf {p} f},\qquad (4.3)$

которая аналогична выражению (3.3).

Совместное решение уравнений (4.1) и (4.2) в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения (4.1) ищется в виде

$f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=f_{0}+\delta f(p)e^{i(kx-\omega t)},\qquad (4.4)$

где к равновесной функции распределения (распределение Ферми — Дирака) добавляется малая поправка в виде плоской волны ($|\delta f|\ll f_{0}$). Потенциал также является малым возмущением (по сравнению с $V_{g}$)

$\phi (\mathbf {r} ,t)=\delta \phi e^{i(kx-\omega t)}.\qquad (4.5)$

При подстановки решений (4.4) и (4.5) в (4.1) и (4.2) приходим к уравнениям на $\delta f(p)$ и $\delta \phi$ с точностью до первого порядка малости

$\left(kv_{F}{\frac {p_{x}}{p}}-\omega \right)\delta f=-ek{\frac {\partial f_{0}}{\partial p_{x}}}\delta \phi ,\qquad (4.6)$

$\delta \phi =-{\frac {2eW_{g}}{\pi \varepsilon \hbar ^{2}}}\int {d^{2}\mathbf {p} f}.\qquad (4.7)$

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть $k_{B}T\ll E_{F}$. Для $\omega >v_{F}k$ получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

$\omega ={\frac {kv_{F}}{\sqrt {1-\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{2}}}}=ks,\qquad (4.7)$

где

$\alpha ={\sqrt {\frac {4g_{s}g_{v}e^{3}W_{g}V_{g}}{\varepsilon \hbar ^{2}v_{F}^{2}}}}.\qquad (4.8)$.

Фазовая и групповая скорости равны

$s={\frac {v_{F}}{\sqrt {1-\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{2}}}}.\qquad (4.9)$

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрен в работе .

См. также

• Графен