Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда:
и ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b653978aba5afd7e886068a69470c46af080ea)
.
Тогда, если, начиная с некоторого места (
), выполняется неравенство:
,
то из сходимости ряда
следует сходимость
.
Или же, если ряд
расходится, то расходится и
.
Обозначим
частные суммы ряда
. Из неравенств
следует, что
Поэтому из ограниченности
вытекает ограниченность
а из неограниченности
следует неограниченность
Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для
Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.
Если для членов строго положительных рядов
и
, начиная с некоторого места (
), выполняется неравенство:
,
то из сходимости ряда
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
Перемножая неравенства, составленные для
, получаем
или ![{\displaystyle a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6448be213c6bdf62b731d3aae31bb794d8b3b8cd)
Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов
и
(и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).
Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.
Если
и
есть строго положительные ряды и
,
то при
из сходимости
следует сходимость
, а при
из расходимости
следует расходимость
.
Из
мы знаем, что для любого
существует
такое, что для всех
мы имеем
, или, что то же самое:
![{\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7050fd0a371900dea16f48250040fe7ce40fd9)
![{\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d76b08cd07e0daeee18f28a80534e166eebe78)
![{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b81a5bb70d3b6a7a4247fe031d9f3d4e8acd89)
Так как
, мы можем взять
достаточно малым, чтобы
было положительным. Но тогда
, и по вышеописанному признаку сравнения если
сходится, то сходится и
.
Точно так же
, и тогда, если
сходится, то сходится и
.
Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.
- Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
- Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.
![Перейти к шаблону «Признаки сходимости рядов»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Для всех рядов | | ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33b91e1eb05d0530e73e355823f3c07821381) |
---|
Для знакоположительных рядов | |
---|
Для знакочередующихся рядов | |
---|
Для рядов вида ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da4118b971026424454fb80f2458ef9b4cac33) | |
---|
Для функциональных рядов | |
---|
Для рядов Фурье | |
---|
![Перейти к шаблону «External links»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|
Словари и энциклопедии | |
---|