Примарная абелева группа

$p$-примарная абелева группа (где $p$ — фиксированное простое число) — абелева группа $(A,+)$, такая что порядок любого элемента из $A$ является степенью $p$.

Примеры

• $(\mathbb {Z} _{p^{n}},+)$ — аддитивная группа классов вычетов по модулю $p^{n}$;
• $(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ — аддитивная группа кольца многочленов над полем $\mathbb {Z} _{p}$.

Свойства

• Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму $p$-примарных подгрупп.

Примарная абелева группа $(A,+)$ называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный $p$.

• Абелева группа $A$ является $p$-примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида $\mathbb {Z} _{p}$.

$p$-высотой элемента $a\in A$ называется наименьшее натуральное число $n$, такое что $a\in nA$. Если такого натурального $n$ не существует, то элемент $a$ имеет бесконечную $p$-высоту.

• Критерий Куликова: $p$-примарная абелева группа $A$ является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда $A$ есть объединение возрастающей цепочки подгрупп

$A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A$,

где $p$-высоты ненулевых элементов подгрупп $A_{i}$ меньше фиксированного элемента $k_{n}$.

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера:

• Первая теорема Прюфера: Ограниченная $p$-примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
• Вторая теорема Прюфера: Счетная $p$-примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной $p$-высоты.

Литература

• Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
• Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник, 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
• H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.