Произведение Кулкарни — Номидзу

Произведение Кулкарни — Номидзу определяется для двух (0,2)-тензоров и даёт в результате (0,4)-тензор. Это произведение позволяет выразить тензор кривизны с нулевым тензором Вейля через тензора кривизны Риччи.

Обычно обозначается ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}$.

Определение

Если $h$ и $k$ — (0,2)-тензоры, то произведение определяется как:

$h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):=h(X_{1},X_{3})\cdot k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})\cdot k(X_{1},X_{3})-$

$-h(X_{1},X_{4})\cdot k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})\cdot k(X_{1},X_{4})$

где X_j векторы основного пространства.

Примеры

• Если риманово многообразие имеет постоянную секционную кривизну $k$ то его тензор кривизны $R$ выражается из метрического тензора $g$ следующим образом:

  $R={\frac {k}{2}}\cdot g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g$

См. также

• Кривизна римановых многообразий

Ссылки

• Бессе, Артур. Многообразия Эйнштейна, II том. — М.: Мир, 1990. — 384 с. — 4250 экз. — ISBN 5-03-002066-7.
• Gallot, S., Hullin, D., and Lafontaine, J. Riemannian Geometry (неопр.). — Springer-Verlag, 1990.