Простые числа Рамануджана

Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел.

История

В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что

$\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1$

для всех $x\geqslant 2$, где $\pi (x)$ — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих $x$. Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:

$\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1,2,3,4,5,\ldots$

для всех $x\geqslant 2,11,17,29,41,\ldots$ соответственно (последовательность A104272 в OEIS).

Определение

Простое число Рамануджана $R_{n}$ это наименьшее целое число, что для любого $x\geqslant R_{n}$ выполнено

$\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant n.$

Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех $x\geqslant R_{n}$ не меньше $n$ и стремится к бесконечности.

Следует отметить, что $R_{n}$ обязательно является простым числом: $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)$, а следовательно и $\pi (x),$ должно возрасти, что возможно только если $R_{n}$ простое.

Границы и асимптотика

Оценка посредством элементарных функций:

$2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n.$

Оценка посредством простых чисел:

$p_{2n}<R_{n}<p_{3n}$,

где $p_{n}$ — $n$-е простое число.

Асимптотика:

$R_{n}\sim p_{2n}$ при $n\to \infty .$

Уточнённая оценка сверху:

$R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\,p_{3n}.$

Все эти результаты были доказаны после 2008 года.