Размерность физической величины

Термин «размерность» имеет и другие значения, см. Размерность (значения).

Разме́рность физической величины — выражение, показывающее связь этой величины с основными величинами данной системы физических величин; записывается в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам, в котором численные коэффициенты опущены.

Говоря о размерности, следует различать понятия система физических величин и система единиц.

Система физических величин и система единиц

Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин.

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными.

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. В различных системах физических величин используются следующие обозначения размерностей:

Основная величина	Символ для размерности
Длина	L
Масса	M
Время	T
Электрический ток	I
Термодинамическая температура	Θ
Количество вещества	N
Сила света	J
Сила	F

Далее размерности производных величин обозначаются с использованием этих символов.

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин. Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT. На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС, МКС и МТС. На основе системы LFT, в которой основными величинами являются длина, сила и время, создана система единиц МКГСС.

В Международной системе величин (англ. International System of Quantities, ISQ), на которой базируется Международная система единиц (СИ), в качестве основных величин выбраны длина, масса, время, электрический ток, термодинамическая температура, сила света и количество вещества. Символы их размерностей приведены выше в таблице. Соответственно Международная система величин обозначается символами LMTIΘNJ.

Размерности производных величин

Для указания размерностей производных величин используют символ dim (от англ. dimension — размер, размерность). Иногда на размерность указывают заключением величины в квадратные скобки: $\dim v\equiv [v]$.

Например, для скорости при равномерном движении выполняется

$v={\frac {s}{t}},$

где $s$ — длина пути, пройденного телом за время $t$. Чтобы определить размерность скорости, в данную формулу следует вместо длины пути и времени подставить их размерности:

$\mathrm {dim} ~v=\mathrm {LT^{-1}} .$

Аналогично для размерности ускорения получается

$\mathrm {dim} ~a=\mathrm {LT^{-2}} .$

Из уравнения второго закона Ньютона с учётом размерности ускорения для размерности силы в Международной системе величин и в любой другой системе, где в качестве основных величин используются длина, масса и время, следует:

$\mathrm {dim} ~F=\mathrm {LMT^{-2}} .$

В общем случае размерность физической величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведённых в различные рациональные степени. Показатели степеней в этом выражении называют показателями размерности физической величины. Если в размерности величины хотя бы один из показателей размерности не равен нулю, то такую величину называют размерной, если все показатели размерности равны нулю — безразмерной.

Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Так, например, размерность силы в системе LMT, как указано выше, выражается равенством dim F=LMT^-2, а в системе LFT выполняется dim F=F . Кроме того, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу — безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия, постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха, Рейнольдса, Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.

Проверка размерности

В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например, сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла. Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 секунды. Из этого правила, в частности, следует, что левые и правые части уравнений должны иметь одинаковую размерность.

Кроме того, аргументы экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций должны быть безразмерными величинами.

Эти правила используются для проверки правильности физических формул. Если в полученном уравнении какое-то из них нарушается, то ясно, что в вычислениях была допущена ошибка.

Формула размерности

Формула размерности зависимой величины (при выбранной системе величин) выводится из требования, чтобы отношение двух численных значений зависимой величины не зависело от выбранных масштабов основных. Это приводит к тому, что размерность зависимой величины всегда имеет вид степенной зависимости.

То есть, формула размерности $[y]=C[x_{1}]^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot [x_{n}]^{\alpha _{n}}$, где $y$ — зависимая величина, а набор $x_{i}$ — основные. Квадратные скобки обозначают, что в выражении участвуют размерности.

Доказательство

Для зависимой величины $y=f(x)$, где $x$ — основная, наложенное условие гласит, что

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {f(x_{1})}{f(x_{2})}}={\frac {f(ax_{1})}{f(ax_{2})}}$

Откуда следует

${\frac {f(x_{1})}{f(ax_{1})}}={\frac {f(x_{2})}{f(ax_{2})}}=g(a)$

Где функция g зависит только от масштаба. Поэтому для измерения, записанного в разных масштабах:

${\frac {g(a)}{g(b)}}={\frac {f(bx)}{f(ax)}}$.

Изменение масштаба $x={\tilde {x}}/b$, приводит к свойству

${\frac {g(a)}{g(b)}}={\frac {f(a/b\cdot {\tilde {x}})}{f({\tilde {x}})}}=g\left({\frac {a}{b}}\right)$.

Дифференцирование крайних равенств по $a$ даёт:

${\frac {1}{g(b)}}{\frac {dg}{da}}={\frac {1}{b}}{\frac {dg}{d(a/b)}}$

В точке $a=b$

${\frac {dg}{g(a)}}={\frac {da}{a}}{\frac {dg}{d(a/b)}}{\Bigg |}_{a=b}=\alpha {\frac {da}{a}}$

Где $\alpha$ — число. Интегрирование приводит к тому, что $g(a)=Ca^{\alpha }$. Откуда $[y]=C[x]^{\alpha }$.

В случае $y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ применяется полученный результат при фиксированных масштабах всех основных величин кроме $a_{i}$, тогда из $g\sim a_{i}^{\alpha _{i}}$ следует $g=Ca_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot a_{n}^{\alpha _{n}}$.

Таким образом, общая формула размерности $[y]=C[x_{1}]^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot [x_{n}]^{\alpha _{n}}$.

На основании этой формулы можно получить правило размерности (Пи-теорему), которое гласит, что в безразмерных переменных количество параметров задачи можно уменьшить на число размерно-независимых величин.

Анализ размерности

Основная статья: Анализ размерности

Анализ размерности — метод, используемый физиками для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных размерных параметров сложной физической системы. Иногда анализ размерности можно использовать для получения готовых формул (с точностью до безразмерной константы). Суть метода заключается в том, что из параметров, характеризующих систему, составляется выражение, имеющее нужную размерность.

При анализе размерностей формул размерность левой части уравнения должна быть равна размерности правой части уравнения. Отсутствие такого равенства говорит о неверности формулы. Однако наличие такого равенства не даёт стопроцентной гарантии верности формулы.

См. также

• Физическая величина
• Мера физической величины
• Именованные числа
• Безразмерная величина
• Пи-теорема

См. также

• Размерности физических величин в системе СИ

Литература

• Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1977. — 336 c.