Расслоение на окружности

Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности $\scriptstyle \mathbf {S} ^{1}$.

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем расслоений на сферы.

Как 3-многообразия

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером 3-многообразий. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.

Отношение к электродинамике

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с $\pi ^{\!*}F$ гомологически эквивалентным нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что

$\pi ^{\!*}F=dA.$

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

$\pi :P\to M$,

имеем гомоморфизм

$\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )$,

где $\pi ^{\!*}$ является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением $U(1)$. Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
• Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения $L\to X$ и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из $L$, получаем, что оно является главным расслоением $U(1)$. Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений $U(1)$ согласуются с характеристическими классами $L$.
• Например, рассмотрим аналитификацию $X$ комплексной плоской кривой

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)$

Поскольку $H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$ и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком ${\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}$, имеет класс Чженя $c_{1}=a\in H^{2}(X)$.

Классификация

Классы изоморфности главных расслоений $U(1)$ многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений $M\to BU(1)$, где $BU(1)$ называется классифицирующим пространством для U(1). Заметим, что $BU(1)=CP^{\infty }$ является бесконечномерным комплексным проективным пространством, и что оно является примером пространства Эйленберга-Маклейна $K(\mathbb {Z} ,2)$. Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ многообразия M, поскольку

$[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)$.

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного линейного расслоения (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна $\mathbb {C} ^{*}$, комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением $U(1)$ тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение $M\to B\mathbb {Z} _{2}$ гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений $M\to BO_{2}$. Это следует из расширения групп $SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}$, где $SO_{2}\equiv U(1)$.

Комплексы Делиня

Основная статья: Когомология Делиня

Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$, расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$, в то время как $H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$ классифицирует линейные расслоения на снопы.

См. также

• Спектральная последовательность