Расстояние Гарнака

Расстояние Гарнака — функция от двух комплексных чисел заданной области $D\subset \mathbb {C} _{\infty }$, наименьшее действительное число $\tau _{D}(z,w)$, такое что для каждой положительной гармонической функции $h$ над $D$ выполнены неравенства:

$\tau _{D}(z,w)^{-1}h(w)\leqslant h(z)\leqslant \tau _{D}(z,w)h(w)$.

Существование такой функции следует из неравенства Гарнака. Введено немецким математиком Акселем Гарнаком; широко используется в комплексном анализе в вопросах, связанных с гармоническими функциями, применяется для решения задачи Дирихле.

Несмотря на название, не является функцией расстояния в строгом смысле; при этом функция $\log \tau _{D}$ является непрерывной псевдометрикой.

Принцип субординации: для мероморфного преобразования $f:D_{1}\to D_{2}$ между областями $D_{1}$ и $D_{2}$ в $\mathbb {C} _{\infty }$ и любых $z,w\in D_{1}$ имеет место:

$\tau _{D_{2}}(f(z),f(w))\leqslant \tau _{D_{1}}(z,w)$,

причём равенство достигается только если $f$ является конформным отображением. В частности, из этого следует, что если $D_{1}\subset D_{2}$, то $\tau _{D_{2}}(z,w)\leqslant \tau _{D_{1}}(z,w)$.

Например, для открытого круга $\Delta =\Delta (w,\rho )$ с центром в $w$ и радиусом $\rho$ и любого $z\in \Delta$:

$\tau _{\Delta }(z,w)={\frac {\rho +|z-w|}{\rho -|z-w|}}$.

Литература

• Thomas Ransford. Potential Theory in the Complex Plane. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0521-46120-0.

• Johannes Köhn. Die Harnacksche Metrik in der Theorie der harmonischen Funktionen // Mathematische Zeitschrift. — 1966. — С. 50—64.