Свойство удвоения

Свойство удвоения — условие, накладываемое на меры, определённые на метрических пространствах, а также на сами метрические пространства.

Определения

Меры

Напомним, что в произвольном метрическом пространстве $B(x,r)$ обозначает шар с центром $x$ и радиусом $r$.

Ненулевая мера $\mu$ на метрическом пространстве удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная $C$ такая, что

$0<\mu [B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot \mu [B(x,r)]<\infty$

для всех $x$ и $r>0$.

Метрические пространства

Метрическое пространство $X$ удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная $M$, такая, что любой шар радиуса $r$ в $X$ можно покрыть $M$ шарами радиуса $r/2$.

Замечания

Иногда рассматривается более слабый вариант свойства удвоение при котором требуется, что радиус $r$ не превышает некоторой положительной константы $r_{0}$.

Свойства

• Любое метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей свойству удвоения, само удовлетворяет свойству удвоения.
  • И наоборот, на любом полном метрическом пространстве со свойством удвоения существует мера со свойством удвоения.

• (Теорема Ассуада) Пусть метрическое пространство $(X,d)$ удовлетворяет свойству удвоения, тогда для любого $0<\alpha <1$, пространство $(X,d^{\alpha })$ допускает билипшицево вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности.

• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если $X$ — метрическое пространство со свойством удвоения и $A\subset X$ и $V$ — банахово пространство, то любое $L$-Липшицево отображение $A\to V$ продолжается до $C\cdot L$-Липшицева отображения $X\to V$, где константа $C$ зависит только от параметра в свойстве удвоения.

• Лемма Витали о покрытиях применима на произвольных метрических пространствах для мер $\mu$ обладающих свойством удвоения.

• Если $X$ — пространство со свойством удвоения, то существует функция $M:(0,1)\to \mathbb {N}$, такая, что любой шар радиуса $r$ в $X$ можно покрыть $M(\varepsilon )$ шарами радиуса $\varepsilon \cdot r$.
  • Более того, можно предположить, что

    $M(\varepsilon )\leqslant {\frac {c}{\varepsilon ^{d}}}$

для некоторых констант $c$ и $d$. При этом точная нижняя грань $d$ называется размерностью Ассуада пространства $X$.

Примеры

• Мера Лебега в евклидовом пространстве удовлетворяет свойству удвоения. Постоянная равна ${\tfrac {1}{2^{m}}}$, где $m$ обозначает размерность.
• Eвклидова плоскость удовлетворяет свойство удвоения с константой $M=7$.
• Размерность евклидова пространства совпадает с его размерностью Ассуада.

Литература

• J. Heinonen. Lectures on analysis on metric spaces. — New York: Springer-Verlag, 2001. — (Universitext).