Символ оператора — функция, ассоциированная с оператором и отражающая те или иные его свойства. Как правило символы задаются для операторов, принадлежащих некоторой алгебре. В таком случае отображение из элементов алгебры в их символы является линейным, то есть при сложении операторов и их умножении на число соответствующие символы также складываются и умножаются на то же число. При умножении операторов их символы обычно умножаются с точностью до членов, считающихся в определённом смысле младшими. Символ оператора часто является числовой функцией числовых переменных, но бывает и что он принимает значения в некоторой алгебре, более простой чем исходная.
Понятие символа оператора тесно связано с задачей введения функций от операторов, в некотором смысле аналогичных заданным функциям вещественных или комплексных переменных. В случае полиномов такая аналогия очевидна, нужно просто подставить в них операторы вместо переменных. Однако, операторы в общем случае не коммутируют и необходимо задать порядок их действия, что можно сделать с помощью фейнмановских номеров, например:
![{\displaystyle ({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a7bc047ec8423741dbfa503d7671c7cd6b7fd9)
означает, что оператор
действует первый, а оператор
вторым, то есть
![{\displaystyle ({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2}={\overset {1}{A^{2}}}+2{\overset {1}{A}}{\overset {2}{B}}+{\overset {2}{B^{2}}}=A^{2}+2BA+B^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47b00c084e47205ad45a966490e5c319dcc35d9)
Пусть задана операторная алгебра
![{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in \mathbb {A} ,\quad n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1bc914dd6c475040027b1afc00bd8a3e5750701)
— множество многочленов от
переменных.
Пусть определено отображение
![{\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}:\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\rightarrow \mathbb {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfde2583ab5dcf84e87788bd2d82ab718112efe1)
которое сопоставляет многочлену
:
![{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}x_{1}^{\alpha _{1}}\dots x_{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24468c9ab8c245a82269741d7d37469387806d8d)
оператор
![{\displaystyle f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f)=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}A_{n}^{\alpha _{n}}\dots A_{1}^{\alpha _{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4ddcf923cc89fa6346ada1e28f83744ca2dae2)
Функция
называется символом оператора
Пусть
— некоторый класс функций от переменных
, содержащий полиномы
.
Пусть задано отображение
![{\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}:{\mathcal {F}}_{n}\rightarrow \mathbb {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997548b43a3e4f47416ddd093f002394e18b6dc7)
Со следующими свойствами:
- Отображение
линейно.
гомоморфизм алгебр с единицей, причём если
, то
.
- Если
, то ![{\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{A_{n}}(f_{n})\dots \mu _{A_{1}}(f_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57324952f581b03eb5eed1045b31cc56c27152de)
![{\displaystyle \forall f\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\quad \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f2b7b602ca9f0b921d3f36f60e10d3dcb318ed)
Функция
называется символом оператора
- Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973
- Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа, М.: Техносфера, 2002
- Символ оператора — статья из Математической энциклопедии. М. А. Шубин