Скручивание Дена

Скручивание Дена на торе

Скручивание Дена — определенный тип гомеоморфизма поверхности на себя.

Построение

Скручивание Дена. Здесь поверхность S — цилиндр, кривая c изображена красным цветом, стрелкой показано скручивание Дена f. Зелёная кривая показывает действие скручивания на поверхность.

Пусть c является простой замкнутой кривой на замкнутой, ориентированной поверхности S. Обозначим через A трубчатую окрестность c. Окрестность A является кольцом, в частности, её можно параметризовать парой чисел (s, t), где s — комплексное число с единичным модулем, а t лежит в вещественном интервале (0,1).

Пусть f есть отображение S на себя, которое тождественно вне A, а на A записывается в вышеприведённых координатах как

$f(s,t)=(s{\cdot }e^{2\pi it},t).$

Тогда f — скручивание Дена вдоль кривой c.

Свойства

• С точностью до изотопии, композициями скручиваний Дена можно получить все гомеоморфизмы поверхности на себя, сохраняющие ориентацию.
  • Иначе говоря, скручивания Дена дают систему образующих группы классов преобразований поверхности.
  • Более того, на поверхности рода $g>1$ можно ограничиться $2g+1$ кривой.

Вариации и обобщения

• Скручивания Дена могут также быть определены на неориентированной поверхности S, при условии, что кривая с не является дезориентрующей.

Ссылки

• Andrew J. Casson, Steven A Bleiler, Automorphisms of Surfaces After Nielsen and Thurston, Cambridge University Press, 1988. ISBN 0-521-34985-0.
• Stephen P. Humphries, Generators for the mapping class group, in: Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), pp. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer, Berlin, 1979. MR: 0547453
• W. B. R. Lickorish, A representation of orientable combinatorial 3-manifolds. Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540. MR: 0151948
• W. B. R. Lickorish, A finite set of generators for the homeotopy group of a 2-manifold, Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. MR: 0171269