Смешанный объём

Смешанный объём — числовая характеристика набора из $n$ выпуклых тел в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора $K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}$ обычно обозначается

$V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$.

Определение

Пусть $K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}$ набор из $n$ выпуклых тел в $\mathbb {R} ^{n}$ и $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ положительные вещественные числа. Обозначим через $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ объём тела

$\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},$

где «$+$» обозначает сумму Минковского и

$\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.$

Функция $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ является однородным многочленом степени $n$. Коэффициент этого многочлена при $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}$ по определению равен $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$.

Заметим, что

$v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_{2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.$

Свойства

• Для произвольных неотрицательных чисел $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$,

  $V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$

• Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
• Смешанный объём монотонен по включению тел.
• Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
• Смешанный объём неотрицателен.
  • Более того, $V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0$ тогда и только тогда, когда в каждом $K_{i}$ можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
• Для неотрицательного целого $k\leq n$ смешанный объём $n-k$ копий выпуклого тела $K$ в $\mathbb {R} ^{n}$ и $k$ копий единичного шара выражается через $k$-тую среднюю поперечную меру $K$. В частности
  • Смешанный объём набора из $n$ копий $K$ равен обычному объёму $K$.
  • Смешанный объём набора из $n-1$ копий $K$ и единичного шара равен ${\frac {1}{n}}$ площади поверхности $K$.
• Типичное число решений системы полиномиальных уравнений $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ равно смешанному объёму многогранников Ньютона $f_{i}$.
• неравенство Минковского

  $V^{n}(K,L,\dots ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$

• неравенство Александрова — Фенхеля

  $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$

См. также

• Теорема Хадвигера

Литература

• Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.