Спектральная мера - это отображение, определённое на
σ
{\displaystyle \sigma }
-алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве .
Пусть
(
X
,
M
)
{\displaystyle (X,M)}
— измеримое пространство ,
H
{\displaystyle H}
— гильбертово пространство,
P
=
P
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}(H)}
— множество всех ортогональных проекторов в
H
{\displaystyle H}
.
Отображение
E
:
M
⟶
P
{\displaystyle E:M\longrightarrow {\mathcal {P}}}
называется спектральной мерой , если удовлетворяет следующим условиям:
Счетная аддитивность : если
{
δ
n
}
{\displaystyle \{\delta _{n}\}}
- конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств
{
δ
n
}
∈
M
{\displaystyle \{\delta _{n}\}\in M}
и
δ
=
⋃
n
δ
n
{\displaystyle \delta =\bigcup _{n}\delta _{n}}
, то
E
(
δ
)
=
s
{\displaystyle E(\delta )=s}
-
∑
n
E
(
δ
n
)
{\displaystyle \sum _{n}{E(\delta _{n})}}
Полнота :
E
(
X
)
=
I
{\displaystyle E(X)=I}
Здесь под
s
{\displaystyle s}
-
lim
{\displaystyle \lim }
и
s
{\displaystyle s}
-
∑
{\displaystyle \sum }
понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии . Например,
T
=
s
{\displaystyle T=s}
-
lim
T
n
{\displaystyle \lim T_{n}}
означает, что
T
x
=
lim
T
n
x
{\displaystyle Tx=\lim T_{n}x}
∀
x
∈
H
{\displaystyle \forall x\in H}
. Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме ) мы пишем
u
{\displaystyle u}
-
lim
{\displaystyle \lim }
.
С каждой спектральной мерой
E
{\displaystyle E}
можно связать скалярные меры
E
x
,
y
{\displaystyle E_{x,y}}
,
x
,
y
∈
H
{\displaystyle x,y\in H}
. По определению
E
x
,
y
(
A
)
=
⟨
E
(
A
)
x
,
y
⟩
{\displaystyle E_{x,y}(A)=\langle E(A)x,y\rangle }
. Легко видеть, что мера
E
x
,
x
{\displaystyle E_{x,x}}
положительна для любого
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
.
{
δ
n
}
,
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle \{\delta _{n}\},n=1,2,...}
, - последовательность измеримых множеств .
Коммутативность :
E
(
δ
1
)
E
(
δ
2
)
=
E
(
δ
2
)
E
(
δ
1
)
=
E
(
δ
1
∩
δ
2
)
{\displaystyle E(\delta _{1})E(\delta _{2})=E(\delta _{2})E(\delta _{1})=E(\delta _{1}\cap \delta _{2})}
.
Ортогональность : если
δ
1
∩
δ
2
=
∅
{\displaystyle \delta _{1}\cap \delta _{2}=\varnothing }
, то
E
(
δ
1
)
E
(
δ
2
)
=
0
{\displaystyle E(\delta _{1})E(\delta _{2})=0}
.
Монотонность : если
δ
1
⊂
δ
2
{\displaystyle \delta _{1}\subset \delta _{2}}
, то
E
(
δ
1
)
⩽
E
(
δ
2
)
{\displaystyle E(\delta _{1})\leqslant E(\delta _{2})}
.
Если последовательность
{
δ
n
}
{\displaystyle \{\delta _{n}\}}
- расширяющаяся, то
s
{\displaystyle s}
-
lim
n
→
∞
E
(
δ
n
)
=
E
(
⋃
n
δ
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcup _{n}\delta _{n})}
.
Если последовательность
{
δ
n
}
{\displaystyle \{\delta _{n}\}}
- вложенная, то
s
{\displaystyle s}
-
lim
n
→
∞
E
(
δ
n
)
=
E
(
⋂
n
δ
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcap _{n}\delta _{n})}
.
Пусть
(
X
,
M
,
H
,
E
)
{\displaystyle (X,M,H,E)}
- пространство со спектральной мерой.
Π
=
Π
(
X
,
E
)
{\displaystyle \Pi =\Pi (X,E)}
- множество всех
E
{\displaystyle E}
-измеримых простых функций на
X
{\displaystyle X}
.
δ
1
,
.
.
.
,
δ
n
{\displaystyle \delta _{1},...,\delta _{n}}
- разложение пространства
X
{\displaystyle X}
на непересекающиеся подмножества, на которых функция
φ
∈
Π
{\displaystyle \varphi \in \Pi }
постоянна и
c
k
{\displaystyle c_{k}}
- значение функции
φ
{\displaystyle \varphi }
на
δ
k
{\displaystyle \delta _{k}}
.
Интегралом от функции
φ
∈
Π
{\displaystyle \varphi \in \Pi }
по спектральной мере
E
{\displaystyle E}
называется оператор
J
φ
=
∫
φ
d
E
=
∑
k
⩽
n
c
k
E
(
δ
k
)
{\displaystyle J_{\varphi }=\int \varphi dE=\sum _{k\leqslant n}c_{k}E(\delta _{k})}
.
Свойства :
⟨
J
φ
(
x
)
,
y
⟩
=
∫
φ
d
E
x
,
y
{\displaystyle \langle J_{\varphi }(x),y\rangle =\int \varphi dE_{x,y}}
для любых
x
,
y
∈
H
{\displaystyle x,y\in H}
. Этим свойством оператор
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
определяется однозначно.
J
α
φ
+
β
ψ
=
α
J
φ
+
β
J
ψ
{\displaystyle J_{\alpha \varphi +\beta \psi }=\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }}
.
J
φ
ψ
=
J
φ
J
ψ
=
J
ψ
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi \psi }=J_{\varphi }J_{\psi }=J_{\psi }J_{\varphi }}
.
(
J
φ
)
∗
=
J
φ
¯
{\displaystyle (J_{\varphi })^{*}=J_{\overline {\varphi }}}
.
J
1
=
I
{\displaystyle J_{1}=I}
.
|
|
J
φ
|
|
=
E
{\displaystyle ||J_{\varphi }||=E}
-
s
u
p
|
φ
|
{\displaystyle sup|\varphi |}
.
L
∞
(
X
,
E
)
{\displaystyle L_{\infty }(X,E)}
- множество всех
E
{\displaystyle E}
-измеримых,
E
{\displaystyle E}
-ограниченных комплексных функций на
X
{\displaystyle X}
.
Продолжим отображение
J
φ
=
J
φ
{\displaystyle {\textbf {J}}\varphi =J_{\varphi }}
с нормированной алгебры
Π
(
X
,
E
)
{\displaystyle \Pi (X,E)}
на всей банаховой алгебры
L
∞
(
X
,
E
)
{\displaystyle L_{\infty }(X,E)}
.
Интегралом от функции
φ
∈
L
∞
(
X
,
E
)
{\displaystyle \varphi \in L_{\infty }(X,E)}
по спектральной мере
E
{\displaystyle E}
называется значение продолженного отображения
J
{\displaystyle {\textbf {J}}}
на функции
φ
:
J
φ
=
∫
φ
d
E
=
u
{\displaystyle \varphi :J_{\varphi }=\int \varphi dE=u}
-
lim
J
φ
n
{\displaystyle \lim J_{\varphi _{n}}}
, где
{
φ
n
}
{\displaystyle \{\varphi _{n}\}}
- произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к
φ
{\displaystyle \varphi }
по норме в
L
∞
(
X
,
E
)
{\displaystyle L_{\infty }(X,E)}
.
Теорема . Отображение
J
{\displaystyle {\textbf {J}}}
есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры
L
∞
(
X
,
E
)
{\displaystyle L_{\infty }(X,E)}
с единицей
1
{\displaystyle {\textbf {1}}}
и инволюцией
φ
⟶
φ
¯
{\displaystyle \varphi \longrightarrow {\bar {\varphi }}}
на некоторую коммутативную подалгебру алгебры
B
(
H
)
{\displaystyle {\textbf {B}}(H)}
с единицей
I
{\displaystyle I}
и инволюцией
T
⟶
T
∗
{\displaystyle T\longrightarrow T^{*}}
.
Следствия :
Оператор
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
нормален .
Оператор
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
самосопряжен
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
E
{\displaystyle E}
-п.в. функция
φ
{\displaystyle \varphi }
вещественна.
Оператор
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
унитарен
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
E
{\displaystyle E}
-п.в. функция
|
φ
(
y
)
|
=
1
{\displaystyle |\varphi (y)|=1}
.
Для интеграла по спектральной мере имеет место аналог теоремы Лебега о мажорированной сходимости :
Теорема. Пусть последовательность
E
{\displaystyle E}
-ограниченных функций
f
n
{\displaystyle f_{n}}
почти всюду сходится к функции
f
{\displaystyle f}
. Если найдется такая константа
C
>
0
{\displaystyle C>0}
, что
|
f
n
|
≤
C
{\displaystyle |f_{n}|\leq C}
почти всюду для любого
n
{\displaystyle n}
, то
∫
f
d
E
=
s
-
lim
∫
f
n
d
E
{\displaystyle \int fdE=s{\text{-}}\lim \int f_{n}dE}
.
S
(
X
,
E
)
{\displaystyle S(X,E)}
- пространство всех
E
{\displaystyle E}
-измеримых,
E
{\displaystyle E}
-п.в. конечных функций на
X
{\displaystyle X}
.
Каждой функции
φ
∈
S
(
X
,
E
)
{\displaystyle \varphi \in S(X,E)}
и каждому
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
сопоставим срезку
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi _{(n)}}
, определенную как
χ
A
φ
{\displaystyle \chi _{A}\varphi }
, где
χ
A
{\displaystyle \chi _{A}}
- характеристическая функция множества
A
=
{
x
∈
X
:
|
ϕ
(
x
)
|
≤
n
}
{\displaystyle A=\{x\in X:|\phi (x)|\leq n\}}
. Интегралом от
φ
∈
S
(
X
,
E
)
{\displaystyle \varphi \in S(X,E)}
по спектральной мере
E
{\displaystyle E}
назовем оператор
J
φ
=
∫
φ
d
E
{\displaystyle J_{\varphi }=\int \varphi dE}
, определенный как предел последовательности
∫
φ
(
n
)
d
E
{\displaystyle \int \varphi _{(n)}dE}
. Более точно, областью определения оператора
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
служит множество таких
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
, что последовательность
J
φ
(
n
)
(
x
)
{\displaystyle J_{\varphi _{(n)}}(x)}
сходится, а значением - предел этой последовательности.
Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
положим множество
D
φ
⊂
H
,
D
φ
=
{
f
∈
H
:
∫
|
φ
|
2
d
μ
f
<
∞
}
{\displaystyle D_{\varphi }\subset H,D_{\varphi }=\{f\in H:\int |\varphi |^{2}d\mu _{f}<\infty \}}
. Для каждого
x
∈
D
φ
{\displaystyle x\in D_{\varphi }}
найдется единственный
y
∈
H
{\displaystyle y\in H}
удовлетворяющий равенству
⟨
y
,
z
⟩
=
∫
φ
d
E
x
,
z
{\displaystyle \langle y,z\rangle =\int \varphi dE_{x,z}}
для всех
z
∈
H
{\displaystyle z\in H}
, который по определению служит значением
J
φ
(
x
)
{\displaystyle J_{\varphi }(x)}
.
Свойства :
D
(
α
J
φ
+
β
J
ψ
)
=
D
φ
∩
D
ψ
{\displaystyle D(\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi })=D_{\varphi }\cap D_{\psi }}
.
α
J
φ
+
β
J
ψ
⊂
J
α
φ
+
β
ψ
{\displaystyle \alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }\subset J_{\alpha \varphi +\beta \psi }}
.
D
(
J
φ
J
ψ
)
=
D
φ
ψ
∩
D
ψ
{\displaystyle D(J_{\varphi }J_{\psi })=D_{\varphi \psi }\cap D_{\psi }}
.
J
φ
J
ψ
⊂
J
φ
ψ
{\displaystyle J_{\varphi }J_{\psi }\subset J_{\varphi \psi }}
.
D
(
J
φ
∗
)
=
D
φ
{\displaystyle D(J_{\varphi }^{*})=D_{\varphi }}
.
J
φ
∗
=
J
φ
¯
{\displaystyle J_{\varphi }^{*}=J_{\overline {\varphi }}}
.
Оператор
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
замкнут и нормален.
α
J
φ
+
β
J
ψ
¯
=
J
α
φ
+
β
ψ
{\displaystyle {\overline {\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }}}=J_{\alpha \varphi +\beta \psi }}
.
J
φ
J
ψ
¯
=
J
ψ
J
φ
¯
=
J
φ
ψ
{\displaystyle {\overline {J_{\varphi }J_{\psi }}}={\overline {J_{\psi }J_{\varphi }}}=J_{\varphi \psi }}
.
Теорема . Пусть
V
{\displaystyle V}
- унитарный оператор в
H
{\displaystyle H}
, тогда существует единственная спектральная мера
F
=
F
V
{\displaystyle F=F_{V}}
в
H
{\displaystyle H}
, определенная на борелевских подмножествах единичной окружности
T
{\displaystyle \mathbb {T} }
такая, что
V
=
∫
T
z
d
F
(
z
)
{\displaystyle V=\int _{\mathbb {T} }zdF(z)}
.
Теорема . Пусть
A
{\displaystyle A}
- самосопряженный оператор в
H
{\displaystyle H}
, тогда существует единственная спектральная мера
E
=
E
A
{\displaystyle E=E_{A}}
в
H
{\displaystyle H}
, определённая на борелевских подмножествах в
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
такая, что
A
=
∫
R
s
d
E
(
s
)
{\displaystyle A=\int _{\mathbb {R} }sdE(s)}
.
Теорема . Пусть
T
{\displaystyle T}
- нормальный оператор в
H
{\displaystyle H}
, тогда существует единственная спектральная мера
E
=
E
T
{\displaystyle E=E_{T}}
в
H
{\displaystyle H}
, определенная на борелевских подмножествах в
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
такая, что
T
=
∫
C
z
d
E
(
z
)
{\displaystyle T=\int _{\mathbb {C} }zdE(z)}
.
Уравнение Шредингера :
d
u
d
t
+
i
A
u
=
0
{\displaystyle {\frac {du}{dt}}+iAu=0}
с начальным условием
u
(
0
)
=
f
{\displaystyle u(0)=f}
, где
A
{\displaystyle A}
- самосопряженный оператор. Решением будет
u
(
t
)
=
U
(
t
)
f
{\displaystyle u(t)=U(t)f}
, где
U
(
t
)
=
e
−
i
A
t
=
∫
e
−
i
s
t
d
E
(
s
)
{\displaystyle U(t)=e^{-iAt}=\int e^{-ist}dE(s)}
,
E
=
E
A
{\displaystyle E=E_{A}}
- спектральная мера оператора
A
{\displaystyle A}
.
Параболическое уравнение :
d
u
d
t
+
A
u
=
0
{\displaystyle {\frac {du}{dt}}+Au=0}
с начальным условием
u
(
0
)
=
f
{\displaystyle u(0)=f}
, где
A
{\displaystyle A}
- самосопряженный положительный оператор. Решением будет
u
(
t
)
=
T
(
t
)
f
{\displaystyle u(t)=T(t)f}
, где
T
(
t
)
=
e
−
A
t
=
∫
e
−
s
t
d
E
(
s
)
{\displaystyle T(t)=e^{-At}=\int e^{-st}dE(s)}
,
E
=
E
A
{\displaystyle E=E_{A}}
- спектральная мера оператора
A
{\displaystyle A}
.
М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7 .
У. Рудин. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1975. — 443 с.