Стандартное отображение

Стандартное отображение (англ. Standard map), известное также как стандартное отображение Чирикова (англ. Chirikov standard map) и отображение Чирикова — Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) — нелинейное отображение (сохраняющее объём) для двух канонических переменных, $(p,\;x)$ (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы Борисом Чириковым в 1969 году.

Отображение задается такими итерационными уравнениями:

${\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sin x_{n},\\{x}_{n+1}=x_{n}+p_{n+1},\end{array}}$

где параметр $K$ контролирует хаотичность системы.

Модель ротатора

Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные $x_{n}$ и $p_{n}$ соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после $n$-го удара. Параметр $K$ описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так:

$H={\frac {p^{2}}{2}}+K\delta _{Per}(t)\cos x,$

где функция $\delta _{Per}(t)$ — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.

Свойства

Рис. 1. $\scriptstyle {K=0{,}6}$

Рис. 2. $\scriptstyle {K=0{,}971\ 635}$

Рис. 3. $\scriptstyle {K=1{,}2}$

Для случая $K=0$ отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические траектории. При $K\neq 0$ отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост $K$ приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости $(x,\;p)$. Благодаря периодичности функции $\sin(x)$, динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв $x\;{\bmod {\;}}(2\pi )$] или на торе [взяв $(x,\;p)\;{\bmod {\;}}(2\pi )$].

Стационарные точки отображения определяются из условия $(x_{n},\;p_{n})=(x_{n+1},\;p_{n+1})$. На интервале $x\in [0,\;2\pi ]$, $p\in [0,\;2\pi ]$ такими точками являются $(0,\;0)$ и $(\pi ,\;0)$ (вследствие симметричности фазовой плоскости системы $(x_{n},\;p_{n})$ при инверсии относительно точки $(\pi ,\;\pi )$ стационарные точки $(0,\;\pi )$ и $(\pi ,\;\pi )$ можно не рассматривать).

Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений

$\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}}\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{array}}\right],$

${\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right].$

Из условия $\det |{\hat {M}}-\lambda {\hat {I}}|=0$ можно определить собственные значения матрицы ${\hat {M}}$ для обоих стационарных точек [$(0,\;0)$ и $(\pi ,\;0)$]:

$\lambda _{\pm }^{(0,\;0)}={\frac {2+K\pm {\sqrt {K^{2}+4K}}}{2}},$

$\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}={\frac {2-K\pm {\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}.$

Поскольку $K>0$, то отсюда следует неравенство $\lambda _{+}^{(0,\;0)}>1$. В то же время справедливо неравенство $\lambda _{-}^{(0,\;0)}<\lambda _{+}^{(0,\;0)}<1$ для произвольных $K>0$. Таким образом стационарная точка $(0,\;0)$ является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка $(\pi ,\;0)$ является устойчивой эллиптической точкой при $0\leqslant K<4$, поскольку тогда $\mathrm {Re} \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}\right|=1$. Для $K\geqslant 4$ стационарная точка $(\pi ,\;0)$ теряет устойчивость и становится гиперболической.

Ниже критического значения параметра, $K<K_{c}$ (рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса $p$ является ограниченным — иными словами, диффузия $p$ в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения $r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2$, что соответствует критическому значению параметра $K_{g}=0{,}971\ 635\ldots$ (фазовое пространство системы для $K=0{,}971\ 635$ изображено на рис. 2). На данный момент строго не доказано, что $K_{c}=K_{g}$, однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегодняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при $K>63/64=0{,}984\;375>K_{c}$ наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. рис. 3). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.

Энтропия Колмогорова — Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением $h\approx \ln(K/2)$ для значений контрольного параметра $K>4$

Квантовое стандартное отображение

Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных $(p,\;x)$ квантовомеханическими операторами $({\hat {p}},\;{\hat {x}})$, которые удовлетворяют коммутационному соотношению $[{\hat {p}},\;{\hat {x}}]=-i\hbar$, где $\hbar$ — эффективная безразмерная постоянная Планка.

Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является так называемое явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счёт квантовых эффектов.

Применение

Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,

• динамика частиц в ускорителях;
• динамика кометы в Солнечной системе;
• микроволновая ионизация ридберговских атомов и автоионизация молекулярных ридберговских состояний;
• электронный магнетотранспорт в резонансном туннельном диоде;
• удержание заряженных частиц в зеркальных магнитных ловушках.

Модель Френкеля — Конторовой

Модель Френкеля — Конторовой следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задаёт связь между положениями взаимодействующих частиц (например, атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид:

$H=\sum _{n}\left({\frac {P_{n}^{2}}{2}}+{\frac {(x_{n+1}-x_{n})^{2}}{2}}-K\cos x_{n}\right),\quad P_{n}={\dot {x}}_{n}.$

Здесь $x_{n}$ — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае ($P_{n}\equiv 0$) это приводит к следующему уравнению

$x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n},$

которое заменой $p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n}$ можно свести к обычной записи стандартного отображения.

Литература

• Стандартное отображение Чирикова на www.scholarpedia.org  (англ.).
• Weisstein, Eric W. Standard map (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Lichtenberg, A. J. and Lieberman, M. A. Regular and Chaotic Dynamics (неопр.). — Springer, Berlin, 1992..
• Ott, Edward. Chaos in Dynamical Systems (неопр.). — Cambridge University Press New, York, 2002..
• Sprott, Julien Clinton. Chaos and Time-Series Analysis (англ.). — Oxford University Press, 2003..
• Chirikov B. V. «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics» // Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp. 443—545, Eds. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).