Структурные константы

Используя векторное произведение в качестве скобки Ли, алгебра 3-мерных вещественных векторов является алгеброй Ли, изоморфной алгебрам Ли SU(2) и SO(3). Структурные константы: $f^{abc}=\epsilon ^{abc}$, где $\epsilon ^{abc}$ — антисимметричный символ Леви-Чивиты.

В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем используются для явного указания произведения двух базисных векторов в алгебре в качестве линейной комбинации. Учитывая структурные константы, результирующее произведение является билинейным и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, таким образом, однозначно определяя произведение для алгебры.

Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо указать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебры Ли в физике, поскольку базисные векторы указывают конкретные направления в физическом пространстве или соответствуют конкретным частицам. Напомним, что алгебры Ли — это алгебры над полем, причём билинейное произведение задаётся скобкой Ли или коммутатором.

Определение

Учитывая набор базисный векторов $\{\mathbf {e} _{i}\}$ векторного пространства алгебры, структурные константы или структурные коэффициенты $c_{ij}^{\;k}$ выражают умножение $\cdot$ пар векторов в качестве линейной комбинации:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k}$.

Верхний и нижний индексы часто не различаются, если алгебра не наделена какой-либо другой структурой, которая потребовала бы этого (например, псевдориманова метрика на алгебре неопределённой ортогональной группы so(p,q)). То есть структурные константы часто записываются с верхними или нижними индексами. Различие между верхним и нижним является условием, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты двойственного вектора, то есть ковариантно при изменении базиса, а верхние индексы — контравариантно.

Очевидно, что структурные константы зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли одно часто используемое соглашение о базисе выражается в терминах лестничных операторов, определённых подалгеброй Картана; это представлено ниже в статье после некоторых предварительных примеров.

Пример: алгебры Ли

Для алгебры Ли базисные векторы называются генераторами алгебры, а произведение задаётся скобкой Ли. То есть, произведение алгебры $\cdot$ "определено" как скобка Ли: для двух векторов $A$ и $B$ в алгебре, результатом будет $A\cdot B\equiv [A,B].$ В частности, произведение алгебры $\cdot$ нельзя путать с матричным произведением, поэтому иногда требуются альтернативные обозначения.

В этом случае нет особой необходимости различать верхний и нижний индексы; они могут быть записаны все вверху или все внизу. В физике обычно используются обозначения $T_{i}$ для генераторов, а $f_{ab}^{\;\;c}$ или $f^{abc}$ (игнорируя различие между верхним и нижним) для структурных констант. Скобка Ли пар генераторов представляет собой линейную комбинацию генераторов из множества, т.е.

$[T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c}$.

Путём линейного расширения структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.

Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби. Для базисных векторов это можно записать как

$[T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0$

и это непосредственно приводит к соответствующему тождеству в терминах структурных констант:

$f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.$

Выше и оставшаяся часть этой статьи используют соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов.

Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают в точности матричные элементы присоединённого представления. Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простую форму, когда записываются в терминах структурных констант.

Структурные константы часто появляются в приближении к формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли. Для малых элементов $X,Y$ алгебры Ли структура группы Ли около единичного элемента задается формулой

$\exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).$

Обратите внимание на коэффициент 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как $e^{-X}de^{X}$.

Примеры алгебры Ли

𝖘𝖚(2) и 𝖘𝖔(3)

Алгебра 𝖘𝖚(2) специальной унитарной группы SU(2) трёхмерна, с генераторами, заданными матрицами Паули $\sigma _{i}$. Генераторы группы SU(2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где $\epsilon ^{abc}$ — символ Леви-Чивиты):

$[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\epsilon ^{abc}\sigma _{c}$

где

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

В этом случае структурные константы равны $f^{abc}=2i\epsilon ^{abc}$. Обратите внимание, что константа 2i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя $t_{a}=-i\sigma _{a}/2$, можно одинаково хорошо написать

$[t_{a},t_{b}]=\epsilon ^{abc}t_{c}$

Это подчёркивает, что алгебра Ли 𝖘𝖚(2) группы Ли SU(2) изоморфна алгебре Ли 𝖘𝖔(3) группы SO(3). Это приводит структурные константы в соответствие с константами группа вращения SO(3). То есть коммутатор для оператора углового момента обычно записывается как

$[L_{i},L_{j}]=\epsilon ^{ijk}L_{k}$

где

$L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}$

$L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

$L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

написаны так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трёхмерном пространстве.

Разница в множителе «2i» между этими двумя наборами структурных констант может приводить в бешенство, поскольку включает в себя некоторую тонкость. Таким образом, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать реальную структуру. Это приводит к двум неэквивалентным двумерным фундаментальному представлению группы (2), которые изоморфны, но являются комплексно сопряжённым представлением; оба, однако, считаются действительными представлениями именно потому, что они действуют в пространстве с реальной структурой. В случае трёх измерений существует только одно трёхмерное представление, присоединённое представление, которое является действительным представлением; точнее, это то же самое, что и его двойное представление, показанное выше. Другими словами, транспонировать является минусом самого себя: $L_{k}^{T}=-L_{k}.$

В любом случае группы Ли считаются действительными именно потому, что можно записать структурные константы так, чтобы они были чисто действительными.

𝖘𝖚(3)

Менее тривиальный пример даётся в SU(3).

Его генераторы "T" в определяющем представлении таковы:

$T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,$

где $\lambda \,$ матрицы Гелл-Манна являются SU(3) аналогом матриц Паули для SU(2):

$\lambda ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.$

Они подчиняются отношениям

$\left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,$

$\{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,$

Структурные константы полностью антисимметричны. Их дают:

$f^{123}=1\,$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,$

$f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,$

и все другие $f^{abc}$, не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю.

d принимают значения:

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}.\,$

Примеры из других алгебр

Полиномы Холла

Полиномы Холла - это структурные константы алгебры Холла.

Алгебры Хопфа

В дополнение к произведению копроизведение и антипод алгебры Хопфа могут быть выражены в терминах структурных констант. Соединяющая аксиома, которая определяет условие согласованности алгебры Хопфа, может быть выражена как связь между этими различными структурными константами.

Приложения

• Группа Ли абелева в точности тогда, когда все структурные константы равны 0.
• Группа Ли является вещественной именно тогда, когда её структурные константы вещественны.
• Структурные константы полностью антисимметричны по всем индексам тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простой компактной алгебры Ли.
• нильпотентная группа Ли допускает решётку тогда и только тогда, когда её алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами: это критерий Мальцева. Не все нильпотентные группы Ли допускают решётки; для более подробной информации см.также Рагунатан.
• В квантовой хромодинамике символ $G_{\mu \nu }^{a}\,$ представляет калибровочный ковариант тензор напряжённости глюонного поля, аналогичный тензору напряжённости электромагнитного поля, F^μν, в квантовая электродинамика. Это даётся в:

$G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,$

где f_abc — структурные константы SU(3). Обратите внимание, что правила отжимания или опускания индексов a, b или c являются тривиальными, (+, ... +), так что f^abc = f_abc = fa
bc, тогда как для индексов μ или ν существуют нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической подписи (+ - - -).

Выбор базиса для алгебры Ли

Один из традиционных подходов к обеспечению основы алгебры Ли заключается в использовании так называемых «лестничных операторов», которые появляются как собственные векторы подалгебры Картана. Здесь кратко описывается построение этого базиса с использованием общепринятых обозначений. Альтернативная конструкция (конструкция Серра) может быть найдена в статье "Полупростая алгебра Ли".

Для алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ подалгебра Картана ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ является максимальной абелевой подалгеброй. По определению, он состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Ортонормированный базис можно свободно выбирать на ${\mathfrak {h}}$; запишите эту основу как $H_{1},\cdots ,H_{r}$ с

$\langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — это внутреннее произведение в векторном пространстве. Размерность $r$ этой подалгебры называется рангом алгебры. Матрицы $\mathrm {ad} (H_{i})$ в присоединённом представлении взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализованы. Матрицы $\mathrm {ad} (H_{i})$ имеют (одновременные) собственные векторы; которые с ненулевым собственным значением $\alpha$ обычно обозначаются $E_{\alpha }$. Вместе с $H_{i}$ они охватывают всё векторное пространство ${\mathfrak {g}}$. Тогда коммутационные соотношения имеют вид:

$[H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{и}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }$

Собственные векторы $E_{\ }alpha$ определяются только до общего масштаба; обычную нормализацию можно установить

$\langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1$

Это позволяет записать оставшиеся коммутационные соотношения в виде

$[E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}$

и

$[E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }$

с этим последним при условии, что корни (определённые ниже) $\alpha ,\beta$ с ненулевым значением: $\alpha +\beta \neq 0$. $E_{\alpha }$ иногда называют операторами лестницы, поскольку они обладают этим свойством повышения/понижения значения $\beta$.

Для данного $\alpha$ существует столько $\alpha _{i}$, сколько имеется $H_{i}$, поэтому можно определить вектор $\alpha =\alpha _{i}H_{i}$, этот вектор называется корень алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простая алгебра Ли корни могут иметь только две разные длины); подробности см. в корневой системе.

Структурные константы $N_{\alpha ,\beta }$ имеют свойство отличаться от нуля только тогда, когда $\alpha +\beta$ является корнем. Кроме того, они антисимметричны:

$N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }$

и всегда можно выбрать так, чтобы

$N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }$

Они также подчиняются условиям коцикла:

$N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }$

всякий раз, когда $\alpha +\beta +\gamma =0$, а также что

$N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta ,\delta }=0$

всякий раз, когда $\alpha +\beta +\gamma +\delta =0$.