Температурные функции Грина

Температурные функции Грина являются некоторой модификацией функций Грина для квантовомеханических систем с температурой отличной от нуля. Они удобны для вычисления термодинамических свойств системы, а также содержат информацию о спектре квазичастиц и о слабонеравновесных кинетических явлениях.

В системах со взаимодействием может быть построена соответствующая диаграммная техника для температурных функций Грина. Эта техника широко используется для изучения фазовых переходов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, точка Кюри) в различных системах. Исследование подобных систем является нетривиальной задачей. Для описания самого механизма перехода и состояния ниже точки перехода модель невзаимодействующих частиц непригодна. Здесь решающую роль играет межчастичное взаимодействие. Учёт подобного взаимодействия значительно усложняет используемый математический аппарат. Аппарат температурных функций Грина можно развивать в двух эквивалентных формулировках: с помощью квантовомеханических операторов либо в методе функциональных интегралов. Одним из плюсов последнего метода является отсутствие проблем некоммутативности операторов поля и разного рода упорядочиваний.

Операторный подход

Определение температурных функций Грина

Введём мацубаровские ${\hat {\Psi }}$ — операторы в «гейзенберговском представлении» соотношениями:

${\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},$ ${\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.$

В более общем случае эти операторы могут иметь спиновые индексы. В этих формулах $\tau$ — вещественная переменная $\tau \in (0,1/T)$, поэтому операторы ${\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )$ и ${\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )$ не являются эрмитово-сопряженными, $\mu$ — химический потенциал системы, ${\hat {H}}$ — гамильтониан системы, ${\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )$ — оператор числа частиц. Операторы ${\hat {\psi }}(\mathbf {r} )$ и ${\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )$ эрмитово-сопряженный операторы поля в шрёденгеровском представлении. Видно, что «гейзенберговское представление» мацубаровских операторов отличается от настоящего гейзенберговского представления заменой в последнем $t\rightarrow -i\tau$, то есть формально это можно понимать как переход ко мнимому времени. Температурная функция Грина определяется следующим образом:

$G(\tau ,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\right\}}},$

где символ $T_{\tau }$ означает «$\tau$ — хронологизацию» — расположение операторов слева на право в порядке убывания $\tau$. В случае ферми-частиц перестановка между собой операторов приводит к изменению общего знака. С помощью этой функции можно вычислить число частиц как функцию химического потенциала, или химический потенциал, как функцию концентрации и температуры: $N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r} ;\tau +0,\mathbf {r} ).$

Случай свободных частиц

Гамильтониан свободной системы, выраженный через шрёдингеровские операторы поля, имеет вид:

$\quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m}}\right){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,$

в представлении вторичного квантования он же запишется следующим образом:

${\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,$

что следует из определения ${\hat {\psi }}$-операторов:

${\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.$

Температурная функция Грина свободных частиц в импульсно-«временном» представлении :

$G(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),$

здесь $\xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.$

Взаимодействующие частицы

Предположим, что на систему частиц не действуют внешние поля, а межчастичные взаимодействия носят парный характер. Гамильтониан системы представим в виде: ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.$ Введём мацубаровские операторы в представлении взаимодействия соотношениями:

${\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},$ ${\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}.$

Возмущённая часть гамильтониана выраженный через ${\hat {\Phi }}$ — операторы имеет вид:

${\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{2}} ,\tau ).$

Через эти же операторы можно определить температурную функцию Грина:

$G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1},\mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\}}},$ $S(\beta )=T_{\tau }\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H}}_{int}(\tau )d\tau \right)}.$

Такая запись позволяет разложить экспоненту с возмущением и вычислять температурную функцию Грина в виде ряды, а каждый член ряда изображать графически в виде диаграммы.

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.

	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Сплошная линия		$G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})$
2	Сплошная линия		$G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})$
3	Волнистая линия		${\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _{1}-\tau _{2})$
4	Изобразить все связные топологически неэквивалентные диаграммы с 2n вершинами и двумя внешними концами, причем в каждой вершине сходится две сплошные и одна волнистая линия.
5	Производится интегрирование по координатам ($d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau$) каждой вершины.
6	Полученное выражение умножается на $(-1)^{n+F}$, n-порядок диаграммы, F-число замкнутых фермионных петель в ней.

Пользуясь этими правилами изобразим поправку первого порядка по возмущению к температурной функции Грина взаимодействующих частиц. Для этого нужно ограничиться линейным членом в разложение экспоненты. Тогда, привлекая во внимание теорему Вика, нарисуем все связные (любые две точки на диаграмме можно соединить линией) диаграммы первого порядка:

gren1

Соответствующее аналитическое выражение, например, для диаграммы 2 запишется следующим образом:

$Diag_{2}(x-y)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(x-z)G_{0}(z-w)G_{0}(w-y){\mathfrak {U}}(z-w).$

Для расчётов координатное представление оказывается неудобным, поэтому всю диаграммную технику проще сформулировать в импульсно-частотном представлении, пользуясь обычными правилами фурье-анализа. В таком представлении аналитическое выражение рассматриваемой диаграммы примет вид:

$Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\sum \limits _{\omega _{m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),$

где функция Грина свободной системы имеет вид:

$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )+\mu }},$ $\omega _{n}=(2n+1)\pi T$ — для фермионов, $\omega _{n}=2n\pi T$ — для бозонов.

Правила температурной диаграммной техники. Импульсно-частотное представление.

	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Сплошная линия		$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})$
3	Волнистая линия		${\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )$
4	Сопоставить линиям диаграммы внешние импульсы и частоты. Импульсы и частоты внутренних линий в каждой вершине должны удовлетворять законам сохранения $\sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0$
5	По всем независимым импульсам производится интегрирование, по частотам — суммирование.
6	Полученное выражение умножается на $(-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}$, k-порядок диаграммы, F-число замкнутых петель в диаграмме, s — спин частицы.

В простейшем случае (Л.Ландау) потенциал можно взять в виде $U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}),,$ что соответствует нулевому радиусу взаимодействия. Графически это соответствует стягиванию двух точек, которые соединены волнистой линией в одну.

Метод функционального интегрирования

При переходе от классической статистической механики к квантовой, интегрирование по канонически сопряженным переменным $p,q$ заменяется на след, то есть на сумму по состояниям. Таким образом, статистическая сумма квантовой системы с оператором Гамильтона ${\hat {H}}$ определяется как

$Z=Tre^{-\beta {\hat {H}}}=\sum \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H}}}\vert n\rangle }.$

Видно, что член под знаком суммы похож на матричный элемент оператора эволюции с точностью до замены $t\rightarrow -i\beta$. Этот матричный элемент дается формулой Фейнмана-Каца:

$\langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H}}}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t)dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\right)dt\right)}.$

Обратим внимание на то, что в функциональном интеграле величины $p,q,H(p,q)$ являются классическими функциями, и при дальнейших вычислениях не возникает проблемы с коммутационными соотношениями. Сделаем в этой формуле поворот Вика и отождествим $q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )$, тогда выражений для статистической суммы преобразится к виду:

$Z=\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta }},\qquad B.C.={\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose}}\\\psi (x,\tau )=-\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},$

где $S_{\beta }$ действие температурной теории, интегрирование ведётся по полям с соответствующими граничными условиями (B.C.) В случае идеального газа

$S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\left(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).$

Парное взаимодействие можно учесть в виде члена типа плотность-плотность

$S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\tau )\psi (x',\tau ).$

Как было сказано выше объекты $\psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )$ не являются полевыми операторами. В случае фермионов они являются грассмановыми функциями, что является наследием антисимметричности фермионных волновых функций.

Определение температурной функции Грина

Определим функцию Грина как среднее от произведения нескольких полей с весом $\exp(-S_{\beta })$. Так парная корреляционная функция даётся выражением

$G(x,x',\tau ,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1}{Z}}\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau )e^{-S_{\beta }},\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.$

Для корректного определения этого объекта, как можно показать, нужно доопределение $G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).$

Случай свободных частиц

Вычислим функцию Грина для невзаимодействующих частиц. Как известно, для этого нужно найти ядро оператора $\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}$ c учётом граничных условий, то есть решить уравнение

$\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau ,\tau ')=\delta (x-x')\delta (\tau -\tau ').$

Уравнение элементарно решается в $p-\tau$ представлении

$G_{0}(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).$

Как видно, эта функция Грина совпадает с функцией Грина полученной с помощью мацубаровских операторов. Доопределение этой функции при совпадающих «временах» означает, что тета-функция в нуле равна нулю.

Взаимодействующие частицы

Рассмотрим, например, бозоны с межчастичным взаимодействием типа $U(x-x')=\lambda \delta (x-x'),\lambda >0.$ Для вычисления по теории возмущений разложим экспоненту со взаимодействием в ряд по параметру $\lambda$ и для простоты ограничимся первым порядком

$\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\right)^{2}\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).$

Построим соответствующую диаграммную технику

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.

	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Крест		$\psi ^{+}(x,\tau )$
2	Точка		$\psi (x,\tau )$
3	Пропагатор		${\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')$
4	Пропагатор		${\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )$
3	Вершина		$\left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2}$
5	Домножить каждую вершину на $(-\lambda /2)^{n}r/n!$, где n-порядок диаграммы, r-симметрийный коэффициент-число топологически эквивалентных графов.
5	По всем координатам вершин производится интегрирование.

Изобразим в первом порядке все связные графы

graph+

.

Существует только одна диаграмма, для неё $r=4$. Соответствующее аналитическое выражение для поправки

$Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta }dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau ,t)G_{+,0}(y,y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),$

это выражение в точности совпадает с полученным ранее в операторном методе. Для рассматриваемого потенциала две диаграммы 1 и 2 становятся эквивалентными, поэтому для получения однопетлевого вклада, нужно выражение для одной из диаграмм умножить на 2. Конечно и в этом случае разумно перейти в импульсное представление. Правила построения диаграмм в импульсном представлении здесь такие же, как и ранее.

Литература

• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — М.-Ижевск: НИЦ "РХД", 2009. — ISBN 978-5-93972-770-9.
• Цвелик A.M. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — ISBN 5-9221-0237-0.
• Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — ISBN 0-19-850923-5.

См. также

• Квантовополевая теория возмущений в статистической физике
• Критические явления
• Квантовый газ
• Квантовая теория поля
• Функциональный интеграл
• Статистическая физика
• Теория Ландау
• Теорема Вика для функционального интеграла