Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий

Теорема Бендиксона утверждает, что если дивергенция векторного поля на плоскости (или двумерном многообразии) знакопостоянна и отлична от нуля в некоторой односвязной области, то отсутствуют замкнутые фазовые кривые этого поля, целиком лежащие в этой области. В частности, признак позволяет показать, что в области отсутствуют предельные циклы.

Теорема Бендиксона является частным случаем критерия Дюлака.

Строгая формулировка

Рассмотрим векторное поле $v(x)$, заданное в некоторой односвязной области $U$ $(x\in U\subset \mathbb {R} ^{2})$. Допустим, что во всей области $U$ дивергенция поля $v$ не меняет знак и отлична от нуля. Тогда фазовые кривые автономного дифференциального уравнения ${\dot {x}}=v(x)$ не имеют замкнутых траекторий, целиком лежащих в $U$.

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что дивергенция имеет положительный знак. Если поле $v$ записывается в координатах как $v(x)={\big (}v_{1}(x_{1},x_{2}),v_{2}(x_{1},x_{2}){\big )}$, то условие теоремы записывается в виде

${\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}>0$

для всех $x\in U$.

Доказательство

Будем рассуждать от противного. Предположим, что существует замкнутая траектория $\gamma \subset U$. Рассмотрим поток поля $v$ через контур $\gamma$:

$h=\oint \limits _{\gamma }v(x)\,dl.$

Поскольку поле касается контура, этот поток равен нулю. С другой стороны, согласно формуле Грина, этот поток равен интегралу от дивергенции поля по области $V$, ограниченной $\gamma$ и лежащей в $U$ в силу односвязности последней:

$h=\int \limits _{V}\operatorname {div} v(x)\,dx_{1}dx_{2}>0.$

Последнее неравенство справедливо в виду знакопостоянства подынтегрального выражения. Противоречие доказывает теорему.

Литература

• Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. М.: Эдиториал УРСС, 2001., с. 306.