Теорема Дроз-Фарни

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Линия, проходящая через это — Дроз-Фарни прямая (Droz-Farny line)

Теорема Дроз-Фарни — это свойство двух перпендикуляров, проходящих через ортоцентр произвольного треугольника. Линия, проходящая через  — прямая Дроз-Фарни.

Формулировка[править | править код]

Пусть  — треугольник с вершинами , и , и пусть  — его ортоцентр (точка пересечения трех его высот). Пусть и  — любые две взаимно перпендикулярные линии, проходящие через . Пусть , и  — три точки, в которых прямая пересекает стороны , и соответственно. Аналогично определяются , и . Теорема Дроз-Фарни утверждает то, что середины трех отрезков , и лежат на одной прямой (коллинеарны).[1],[2],[3]

История[править | править код]

Теорема сформулирована Арнольдом Дроз-Фарни[англ.] в 1899 году.[4][5]

Вариации и обобщения[править | править код]

Обобщение Горматига[править | править код]

Обобщение теоремы Дроз-Фарни было доказано в 1930 году Рене Горматигом.[6]. Как и выше, пусть  — треугольник с вершинами , и . Пусть  — любая точка, отличная от , и , и — любая прямая, проходящая через . Пусть , и  — точки на , и соответственно, взятые таким образом, чтобы прямые , и были образами прямых , и соответственно при их отражении относительно прямой . Тогда теорема Горматига утверждает то, что точки , и коллинеарны. Теорема Дроз-Фарни является частным случаем этой теоремы, когда точка является ортоцентром треугольника .

Обобщение Дао[править | править код]

Теорема была обобщена Дао Тхань Оайем. Обобщение выглядит следующим образом:

  • Первое обобщение: Пусть точка на плоскости и пусть три параллельных отрезка таковы, что их середины и точка лежат на одной прямой. Тогда пересекаются соответственно в трех коллинеарных точках .[7]
  • Второе обобщение: пусть  — коника, а  — точка плоскости. Проведем три прямые da, db, dc через точку , такие, что они пересекаются на конике соответственно A в точке A'; B в точке B'; C в точке C'. Пусть  — точка на поляре точки относительно (S) или D лежит на конике (S). Пусть DA' ∩ BC =A0; DB' ∩ AC = B0; DC' ∩ AB= C0. Тогда A0, B0, C0 лежат на одной прямой[8].[9][10]
Второе обобщение Дао для теоремы Дроз-Фарни

Примечания[править | править код]

  1. ↑ A. Droz-Farny (1899), «Question 14111». The Educational Times, volume 71, pages 89-90
  2. ↑ Jean-Louis Ayme (2004), «A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem». Forum Geometricorum, volume 14, pages 219—224, ISSN 1534—1178
  3. ↑ Jean-Louis Ayme (2004), «A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem». Forum Geometricorum, volume 14, pages 219—224, ISSN 1534—1178
  4. ↑ A. Droz-Farny (1899), «Question 14111». The Educational Times, volume 71, pages 89-90
  5. ↑ J. J. O’Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
  6. ↑ René Goormaghtigh (1930), «Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg». Mathesis, volume 44, page 25
  7. ↑ Son Tran Hoang (2014), «A synthetic proof of Dao’s generalization of Goormaghtigh’s theorem.» Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125—129, ISSN 2284-5569
  8. ↑ Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102—105, ISSN 2284-5569
  9. ↑ Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339—341. doi:10.1017/mag.2015.47
  10. ↑ O.T.Dao 29-July-2013, Two Pascals merge into one, Cut-the-Knot

Ссылки[править | править код]

Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Дроз-Фарни&oldid=126653691