Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.
Пусть решения системы
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16716d14e70481308666766ad99eb7e4c608645c)
где
— постоянная
-матрица, ограничены на
.
Тогда система
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y,\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7461e6b7281d6ab8e598a5a83d0da2f60486d62)
где
и
асимптотически эквивалентна системе
.
(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру [1])
Поскольку решения системы
ограничены, то характеристические корни
матрицы
удовлетворяют равенству
![{\displaystyle Re\lambda \ (A)\leq \ 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb6e7e47250dd2dcf6128638ec314933b37a218)
причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.
Без ограничения общности предположим, что матрица
имеет квазидиагональный вид
![{\displaystyle \quad A=diag(A_{1},A_{2}),\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18490c7a29886ca79b2ce4216aa0ccc6d35258f7)
где
и
-- соответственно,
- и
-матрицы
такие, что
![{\displaystyle Re\lambda \ (A_{1})<-\alpha <\ 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50edb60f42b570b3632f7240118b053782db7bca)
![{\displaystyle Re\lambda \ (A_{2})=0,\quad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd70846953aed8465c99e11defebaed7b110d413)
Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований
и
где
— постоянная
-матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми
индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми
.
Кроме того, из предельного отношения
при
очевидно, следует предельное отношение
при
.
Пусть
-- фундаментальная матрица системы
нормированная в нуле:
а
и
где
и
-- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно,
Положим
где
и
.
Отсюда матрицу Коши
можно представить в виде:
причем при условии
имеем
при
и
при
где
- некоторые положительные константы.
Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме
Поскольку матрица
абсолютно интегрирована на
то все решения
системы
ограничены на
и поэтому несобственный интеграл
является сходящимся.
Отсюда, учитывая, что
наше интегральное уравнение можно представить в виде
![{\displaystyle \quad y(t)=X(t-t_{0})\left\lbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \right\rbrack +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbc9e13e0a8f177a762e16c3a3de0c5fa2a90ac)
Решению
системы
с начальным условием
сопоставим решение
системы
с начальным условием
Поскольку решения
и
полностью определяются своими начальными условиями, то формула
устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений
системы
и множеством решений
(или ее частью) системы
. Заметим, что отношение
непрерывное относительно начального значения
Покажем, что соответствие между решениями
и
что определяется формулой
является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений
.
Пусть
-- фундаментальная матрица системы
такая, что
. Имеем
Но из неравенств
следует
при
;
поэтому
и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим
при
![{\displaystyle t_{0}\geq t<\infty \qquad (10),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca7aeecb3fdf3fa9c5ed084d45ccc0b1be001f7)
причем константа
по оценке
не зависит от выбора начального момента
Очевидно, имеем
Поэтому из формулы
получаем
где
причем на основе
выводим
Поскольку матрица
абсолютно интегрирована на
, то
при
, следовательно, в силу
начальный момент
можно выбрать настолько большим, чтобы имело место
В дальнейшем
будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства
. Отсюда и из формулы
выводим
Поскольку формулы
и
равносильны, то для каждого решения
системы
с начальным условием
найдется только одно решение
системы
которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие
которого определяется формулой
Соответствие между решениями
и
, которое устанавливается формулами
и
-- взаимно однозначное, т.е. каждому решению
соответствует одно и только одно решение
, и наоборот.
Отметим, что тривиальному решению
соответствует тривиальное решение
и в силу линейности соотношений
и
различными решениям
и
системы
отвечают разные решения
и
системы
и наоборот.
Для соответствующих решений
и
оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что
где
определяется формулой
, то из формулы
имеем
Отсюда, учитывая, что
при
на основе оценок
и
получаем
![{\displaystyle \lVert {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)\rVert \leq \int _{t_{0}}^{t}\lVert X_{1}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +\int _{t}^{\infty }\lVert X_{2}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264c981a33e858913f2810014c968e4466a69e3c)
Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы
при
имеем![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =\int _{t_{0}}^{\frac {t}{2}}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e4ec3a0590a4d9fbf839b14ae385476d8688b9)
если
Итак,
Таким образом, из неравенства
выводим
то есть системы
и
асимптотически эквивалентны.
Доказано.
- ↑ Brauer, Nonlinear differential equations with forcing terms, Proc. Amer. Math. Soc. 15, 5 (1964), 758-765
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рус.)(рус.)