Теорема Пуассона — теорема в теории вероятностей .
Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли , где
p
n
{\displaystyle p_{n}}
— вероятность «успеха»,
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
— количество «успехов».
Тогда если
lim
n
→
∞
n
p
n
=
λ
;
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;}
λ
>
0
,
{\displaystyle \lambda >0,}
то
lim
n
→
∞
P
(
ω
:
μ
n
(
ω
)
=
m
)
=
e
−
λ
λ
m
m
!
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P{\bigl (}\omega :\mu _{n}(\omega )=m{\bigr )}=e^{-\lambda }\,{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}
Используя формулу Бернулли, при
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
запишем, что
P
(
ω
:
μ
n
(
ω
)
=
m
)
=
C
n
m
(
p
n
)
m
(
1
−
p
n
)
n
−
m
=
=
n
!
m
!
(
n
−
m
)
!
(
λ
n
+
o
(
λ
n
)
)
m
(
1
−
λ
n
−
o
(
λ
n
)
)
n
−
m
=
=
1
m
!
(
n
−
m
+
1
)
(
n
−
m
+
2
)
⋯
n
n
m
(
λ
+
o
(
λ
)
)
m
(
1
−
λ
n
−
o
(
λ
n
)
)
n
−
m
,
{\displaystyle {\begin{aligned}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)&=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}(1-p_{n})^{n-m}={}\\{}&={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}\,{\Biggl (}{\frac {\lambda }{n}}+o{\biggl (}{\frac {\lambda }{n}}{\biggr )}{\Biggr )}^{m}{\Biggl (}1-{\frac {\lambda }{n}}-o{\biggl (}{\frac {\lambda }{n}}{\biggr )}{\Biggr )}^{n-m}={}\\{}&={\frac {1}{m!}}\,{\frac {(n-m+1)(n-m+2)\cdots n}{n^{m}}}\,{\bigl (}\lambda +o(\lambda ){\bigr )}^{m}{\Biggl (}1-{\frac {\lambda }{n}}-o{\biggl (}{\frac {\lambda }{n}}{\biggr )}{\Biggr )}^{n-m},\end{aligned}}}
Обратим внимание, что
lim
n
→
∞
n
p
n
=
λ
⟺
p
n
=
λ
n
+
o
(
λ
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda \;\iff \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}
, где
o
(
λ
n
)
{\displaystyle o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}
— такая функция, что
lim
n
→
∞
o
(
λ
n
)
λ
n
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}{\cfrac {\lambda }{n}}}=0.}
Но так как
lim
n
→
∞
(
n
−
m
+
1
)
(
n
−
m
+
2
)
⋯
n
n
m
=
(
lim
n
→
∞
n
−
m
+
1
n
)
⋅
(
lim
n
→
∞
n
−
m
+
2
n
)
⋯
(
lim
n
→
∞
n
n
)
=
1
;
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {(n-m+1)(n-m+2)\cdots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {n-m+1}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {n-m+2}{n}}{\bigg )}\cdots {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {n}{n}}{\bigg )}=1;}
lim
n
→
∞
(
λ
+
o
(
λ
)
)
m
=
λ
m
;
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\bigl (}\lambda +o(\lambda ){\bigr )}^{m}=\lambda ^{m};}
lim
n
→
∞
(
1
−
λ
n
−
o
(
λ
n
)
)
n
−
m
=
e
−
λ
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Biggl (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\Biggr )}^{n-m}=e^{-\lambda },}
то полученное равенство превращается в
lim
n
→
∞
P
(
ω
:
μ
n
(
ω
)
=
m
)
=
e
−
λ
λ
m
m
!
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P{\bigl (}\omega :\mu _{n}(\omega )=m{\bigr )}=e^{-\lambda }\,{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}
Q.E.D.