Теорема Стилтьеса

Теорема Стилтьеса — теорема о свойствах нормальных семейств голоморфных функций одного или многих комплексных переменных. Названа в честь Томаса Стилтьеса.

Формулировка

Пусть $F$ — последовательность голоморфных функций; $D$ — область нормальности первого (второго) рода семейства, образованного из функций семейства $F$. Тогда, если в области $D$ существует точка $M_{0}$, в окрестности которой последовательность $F$ сходится, то область $D$ совпадает с областью равномерной сходимости первого (второго) рода последовательности $F$.

Доказательство

Доказательство аналогично случаю одного комплексного переменного.

Пояснения

Область $D$ над пространством $P^{n}$ называется областью нормальности первого (второго) рода, если:

1. Существует множество функций $F$, голоморфных в области $D$ и составляющих в этой области нормальное семейство первого (второго) рода.
2. Не существует области ${\tilde {D}}>D$, обладающей по отношению к множеству $F$ свойством, указанным в пункте 1.

Литература

• Фукс, Б. А.. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных (рус.). — М.: Физматлит, 1963. — 428 с.
• Монтель, П. Нормальные семейства аналитических функций (рус.). — М., Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.