Теорема Усова о геодезической

Теорема Усова о геодезической даёт точную оценку на вариацию поворота геодезической на графике выпуклой липшицевой функции.

Доказана Владимиром Усовым. Доказательство использует лемму Либермана.

Формулировка

Пусть $\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}$ есть график выпуклой липшицевой функции $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ и $\gamma$ есть геодезическая на $\Sigma$. Тогда вариация поворота $\gamma$ не превосходит $2\cdot L$, где $L$ — липшицева константа $f$.

Замечания

• Эта оценка достигается например для конуса $f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$. Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.

Вариации и обобщения

• Вариация поворота геодезической подграфика произвольной $L$-липшицевой функции не превосходит $2\cdot L$.
• Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.