Теорема о вписанных окружностях

Если синие окружности равны, то зелёные окружности также равны.

Теорема о вписанных окружностях берёт начало в японских сангаку и относится к следующему построению: серия лучей проводится из некой точки на заданную прямую так, что окружности, вписанные в получающиеся треугольники, образованные смежными лучами и прямой, одинаковы. На иллюстрации одинаковые синие окружности определяют угол между лучами, как описано выше.

Формулировка теоремы

Теорема утверждает, что при описанном выше построении окружности, вписанные в треугольники, образованными лучами через один (то есть полученные объединением двух соседних треугольников), через два и т. д., также равны. Случай соседних треугольников показан на рисунке зелёными окружностями: все они имеют одинаковые размеры.

Из факта, что утверждение теоремы не зависит от угла между начальным лучом и заданной прямой, можно сделать вывод, что теорема скорее относится к математическому анализу, а не геометрии, и должна иметь отношение к непрерывной масштабной функции, которая определяет расстояние между лучами. Фактически этой функцией является гиперболический синус.

Лемма

Теорема является прямым следствием следующей леммы.

Предположим, что n-й луч имеет угол $\gamma _{n}$ к нормали для базовой прямой. Если $\gamma _{n}$ параметризовано согласно равенству $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n}$, то значения $\theta _{n}=a+nb$, где $a$ и $b$ являются вещественными константами, определяют последовательность лучей, которые удовлетворяют условиям вписанных окружностей (см. выше), и более того, любая последовательность лучей, удовлетворяющих этим условиям, может быть получена надлежащим выбором параметров $a$ и $b$.

Доказательство леммы

На рисунке прямые PS и PT являются смежными лучами, имеющими углы $\gamma _{n}$ и $\gamma _{n+1}$ с прямой PR, перпендикулярной базовой прямой RT.

Проведём прямую QY, параллельную базовой прямой, через центр O вписанной в треугольник $\triangle$ PST окружности. Эта окружность касается лучей в точках W и Z. Отрезок PQ имеет длину $h-r$, а отрезок QR имеет длину $r$, что равно радиусу вписанной окружности.

Тогда $\triangle$ OWX подобен $\triangle$ PQX, $\triangle$ OZY подобен $\triangle$ PQY, а из XY = XO + OY мы получаем

$(h-r)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).$

Это отношение на множестве углов $\{\gamma _{m}\}$ выражает условие равенства вписанных окружностей.

Для доказательства леммы положим $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$. Это выражение можно преобразовать в $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$.

Используя равенство $a+(n+1)b=(a+nb)+b$, мы применяем дополнительные правила для $\mathrm {sh} \,$ и $\mathrm {ch} \,$ и проверяем, что отношение равенства окружностей удовлетворяется выражением

${\frac {r}{h-r}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.$

Мы получили выражение для параметра $b$ в терминах геометрических величин $h$ и $r$. Далее, определяя $b$, мы получаем выражение для радиусов $r_{N}$ вписанных окружностей, образованных выбором каждого N-го луча в качестве сторон треугольника:

${\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.$

См. также

• Японская теорема о вписанном многоугольнике
• Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

Литература

• Tabov J. A note on the five-circle theorem // Mathematics Magazine. — 1989. — Т. 63. — № 2. — С. 92—94.