Теорема о повороте плоской кривой

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника; частный случай формулы Гаусса — Бонне. Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу, в честь которого эта теорема иногда называется.[1] [2]

Формулировка

[править | править код]

Полный поворот (то есть интеграл ориентированной кривизны) простой плоской замкнутой гладкой регулярной кривой равен . Причём он равен , если ограниченная область лежит слева от кривой и в противоположном случае.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Интеграл ориентированной кривизны плоской замкнутой гладкой регулярной кривой всегда кратен . По теореме любая такая кривая с интегралом ориентированной кривизны, отличным от должна иметь самопересечения.

Примечания

[править | править код]
  1. Heinz Hopf: Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven. Composito Math. (1935), Band 2, S. 50–62.
  2. Hopf H. Differential geometry in the large. — Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1000. Berlin: Springer, 1983.

Литература

[править | править код]
  • Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.