Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Формулировка

[править | править код]

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке Тогда существуют такие, что

  • Если функция постоянна, то
  • Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию заданную формулой
Тогда функция обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке
  • Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Свойство Дарбу для монотонных функций

[править | править код]

Пусть функция монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть  — дифференцируемая внутри области определения, то есть и а также дифференцируема справа в точке : и слева в точке : Тогда является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).