Тета-функция Рамануджана

Тета-функция Рамануджана обобщает тета-функции Якоби, не разрушая основные их свойства. В частности, тройное произведение Якоби принимает особенно элегантный вид, когда записывается в терминах тета-функции Рамануджана. Функция носит имя Сриниваса Рамануджана Айенгора.

Определение

Тета-функция Рамануджана определяется как

$f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}$

для |ab| < 1. Тождество тройного произведения Якоби тогда принимает вид

$f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.$

Здесь выражение $(a;q)_{n}$ означает q-символ Похгаммера. Тождества, вытекающие из этого

$f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={(-q;q^{2})_{\infty }^{2}(q^{2};q^{2})_{\infty }}$

$f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}$

$f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }$

Последнее тождество является функцией Эйлера, которая тесно связана с эта-функцией Дедекинда. Тета-функция Якоби может быть записана в терминах тета-функции Рамануджана:

$\vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})$

Приложение в теории струн

Тета-функция Рамануджана используется для определения критических размерностей в теории бозонных струн, теории суперструн и М-теории.