Укорачивающий поток

Превращение кривой в окружность под действием укорачивающего потока.

Укорачивающий поток — процесс, изменяющий гладкую кривую на плоскости путём перемещения её точек перпендикулярно к кривой со скоростью, равной её кривизне.

Укорачивающий поток изучается в основном как простейший пример геометрического потока, в частности позволяет отработать технику для работы с потоком Риччи и с потоком средней кривизны.

Уравнение

Однопараметрическое семейство кривых $\gamma _{t}$ является решением укорачивающего потока, если для любого значения параметра $\tau$ имеем

${\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t}}=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),$

где $\kappa _{t}(\tau )$ — кривизна со знаком кривой $\gamma _{t}$ в точке $\gamma _{t}(\tau )$ и $n_{t}(\tau )$ — единичный вектор нормали к кривой $\gamma _{t}$ в точке $\gamma _{t}(\tau )$.

Свойства

Пример стационарного солитона — кривой, сохраняющий форму вдоль укорачивающего потока.

• Если начальная кривая простая и замкнутая, то она остаётся таковой под действием укорачивающего потока.
• Для простой замкнутой кривой $\gamma _{0}$ укорачивающий поток $\gamma _{t}$ определён на максимальном интервале $t\in [0,T)$.
  • При $t\to T$ кривая $\gamma _{t}$ схлопывается в точку.
• Площадь ограниченная кривой уменьшается с постоянной скоростью.

  ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$

  • В частности, момент схлопывания в точку полностью определён площадью, ограниченной кривой: $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$.
• Если изначальная кривая не является выпуклой, то её максимальное абсолютное значение кривизны уменьшается монотонно, пока она не станет выпуклой.
• Для выпуклой кривой изопериметрическое соотношение убывает, и прежде чем пропасть в точке сингулярности, кривая стремится по форме к окружности.
• Две непересекающиеся простые гладкие замкнутые кривые остаются непересекающимися, пока одна из них не схлопнулась в точку.
• Окружность — единственная простая замкнутая кривая, которая сохраняет свою форму в потоке.
  • Некоторые кривые с самопересечениями, а также кривые бесконечной длины, сохраняют форму.

Приложения

• Укорачивающий поток на сфере даёт одно из доказательств задачи Арнольда о существования хотя бы четырёх точек перегиба у любой гладкой кривой, разрезающей сферу на равновеликие диски.