Универсальное пространство

Универсальное пространство (относительно некоторого класса топологических пространств ${\mathcal {K}}$ ) — топологическое пространство $X$ , такое, что $X$ принадлежит классу ${\mathcal {K}}$ и каждое пространство $Y$ из класса ${\mathcal {K}}$ вкладывается в $X$ , то есть $Y$ гомеоморфно подпространству пространства $X$ . С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства^[1]. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении^[1]^[2].

Примеры[править | править код]

Примеры универсальных пространств (далее ${\mathfrak {m}}$ — кардинал, такой, что ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ , то есть ${\mathfrak {m}}$ бесконечный):

Александровский куб $F^{\mathfrak {m}}$ — ${\mathfrak {m}}$ -я степень связного двоеточия $F$ (то есть пространства $\{0;1\}$ с топологией, состоящей из пустого множества, всего пространства и множества $\{0\}$ ) — универсален для всех T₀-пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ ^[3].
Тихоновский куб $I^{\mathfrak {m}}$ — ${\mathfrak {m}}$ -я степень единичного отрезка $I=[0;1]$ — универсален для всех тихоновских пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ и для всех компактных хаусдорфовых пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ ^[4].
Гильбертов кирпич $I^{\aleph _{0}}$ — счётная степень единичного отрезка — универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств^[5].
$J({\mathfrak {m}})^{\aleph _{0}}$ — счётная степень ежа колючести ${\mathfrak {m}}$ — универсально для всех метризуемых пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ ^[6].
Пространство рациональных чисел $\mathbb {Q}$ (с естественной топологией) универсально для всех счётных метризуемых пространств^[7].
Канторов куб $D^{\mathfrak {m}}$ — ${\mathfrak {m}}$ -я степень двухточечного дискретного пространства — универсален для всех нульмерных пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ ^[8].
Пространство Бэра $B({\mathfrak {m}})=D({\mathfrak {m}})^{\aleph _{0}}$ — счётная степень дискретного пространства мощности ${\mathfrak {m}}$ — универсально для всех нульмерных в смысле Ind метризуемых пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ ^[9].
Подпространство евклидова пространства $\mathbb {R} ^{2n+1}$ , образованное всеми точками, не более чем $n$ координат которых рациональны, универсально для всех метризуемых сепарабельных пространств размерности не больше $n$ ^[10].
Существует компакт, универсальный для всех тихоновских пространств $X$ веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ , таких, что $\dim X\leqslant n$ (то есть размерность Лебега $X$ не больше $n$ )^[11].