Уравнение Рэлея — Плессета

Уравнение Рэлея — Плессета часто применяется для изучения кавитационных пузырьков, которые, как показано выше, формируются за гребным винтом.

Уравнение Рэлея — Плессета (уравнение Безанта — Рэлея — Плессета) — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, которое определяет динамику сферического пузырька в бесконечном теле несжимаемой жидкости:

$R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0$,

где

$\rho _{L}$ — плотность окружающей жидкости, считающаяся постоянной

$R(t)$ — радиус пузыря

$\nu _{L}$ — кинематическая вязкость окружающей жидкости, считающаяся постоянной.

$\sigma$ — поверхностное натяжение границы раздела пузырь-жидкость

$\Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)$, где $P_{B}(t)$ — давление внутри пузырька, считается однородным, и $P_{\infty }(t)$ — внешнее давление, бесконечно удаленное от пузыря

При условии, что $P_{B}(t)$ известно и $P_{\infty }(t)$ задано, то для решения задачи об изменяющемся во времени радиусе пузырька $R(t)$ можно использовать уравнение Рэлея — Плессета.

Уравнение Рэлея — Плессета выводится из уравнений Навье — Стокса в предположении сферической симметрии.

История

Без учёта поверхностного натяжения и вязкости уравнение было впервые опубликовано Уильямом Генри Безантом в книге 1859 года со следующей формулировкой задачи: бесконечная масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют никакие силы, находится в покое, а сферическая часть жидкости внезапно аннигилирует; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке жидкости и время, за которое полость заполнится, при этом давление на бесконечном расстоянии должно оставаться постоянным. Безант предсказал время, необходимое для заполнения пустой полости начального радиуса $R_{0}$:

${\begin{aligned}t&=R_{0}{\sqrt {\frac {6\rho }{P_{\infty }}}}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=R_{0}{\sqrt {\frac {\pi \rho }{6P_{\infty }}}}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0{,}91468R_{0}{\sqrt {\frac {\rho }{P_{\infty }}}}\end{aligned}}$

Лорд Рэлей нашёл более простой вывод того же результата, который основан на законе сохранения энергии. Кинетическая энергия втекающей жидкости равна $2\pi \rho U^{2}R^{3}$, где $R$ — зависящий от времени радиус пустоты, а $U$ — радиальная скорость жидкости в ней. Работа, совершаемая жидкостью, вдавливающейся в бесконечность, равна $4\pi P_{\infty }(R_{0}^{3}-R^{3})/3$. Приравнивание этих двух энергий дает соотношение между $R$ и $U$. Тогда, отмечая, что $U=\partial R/\partial t$, методом разделения переменных получаем результат Безанта. Рэлей пошёл дальше Безанта, оценив интеграл (бета-функцию Эйлера) через гамма-функции. Рэлей применил этот подход к случаю полости (пузырьку), заполненной идеальным газом, включив работу, совершаемую при сжатии газа.

Для случая абсолютной пустоты Рэлей определил, что давление $P$ в жидкости при радиусе $r$ определяется следующим образом:

${\frac {P}{P_{\infty }}}-1={\frac {R}{3r}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-4\right)-{\frac {R^{4}}{3r^{4}}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-1\right)$ .

Когда объём пустоты составляет не менее четверти своего начального объёма, давление монотонно убывает от $P_{\infty }$ на бесконечности до нуля в $R$. По мере дальнейшего сжатия пустоты максимум давления, превышающий $P_{\infty }$, появляется при

$r^{3}={\frac {4(R_{0}^{3}-R^{3})R^{3}}{R_{0}^{3}-4R^{3}}}$,

очень быстро растёт и сходится в пустоте.

Впервые это уравнение было применено к движущимся кавитационным пузырькам Милтоном Плессетом в 1949 году путём включения в него эффектов поверхностного натяжения.

Вывод уравнения

Численное интегрирование уравнения Рэлея — Плессета, включая поверхностное натяжение и вязкость. Первоначально находясь в покое при атмосферном давлении c R0=50 мкм, пузырек расширяется с собственной частотой под действием колебательного давления, а затем схлопывается.

Численное интегрирование уравнения Рэлея — Плессета с учётом поверхностного натяжения и вязкости. Первоначально находясь в состоянии покоя при атмосферном давлении с R0=50 мкм, пузырек под действием перепада давления расширяется, а затем схлопывается.

Уравнение Рэлея — Плессета можно полностью вывести на основе первых принципов, используя радиус пузырька в качестве динамического параметра. Для сферического пузыь радиус $R(t)$ которого зависит от времени, где $t$ — это время. Предположим, что в пузырьке находится однородно распределённый пар/газ с равномерной температурой $T_{B}(t)$ и давлением $P_{B}(t)$. За пределами пузырька находится бесконечная область жидкости с постоянной плотностью $\rho _{L}$ и динамической вязкостью $\mu _{L}$. Пусть температура и давление вдали от пузырька равны $T_{\infty }$ и $P_{\infty }(t)$. Температура $T_{\infty }$ предполагается постоянной. На радиальном расстоянии $r$ от центра пузырька изменяющимися свойствами жидкости являются давление $P(r,t)$, температура $T(r,t)$ и скорость движения в радиальном направлении $u(r,t)$. Эти свойства жидкости определяются только вне пузырька, то есть $r\geq R(t)$.

Сохранение массы

В силу сохранения массы закон обратных квадратов требует, чтобы радиально направленная скорость $u(r,t)$ была обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (центра пузырька). Поэтому, пусть $F(t)$ есть некоторая функция времени,

$u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}$.

В случае нулевого переноса массы через поверхность пузырька скорость на границе раздела должна быть равна

$u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}$,

откуда

$F(t)=R^{2}dR/dt$.

В случае переноса массы её скорость увеличения внутри пузыря определяется выражением

${\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}},$

где $V$ — это объём пузыря. Если $u_{L}$ — скорость жидкости относительно пузырька при $r=R$, то масса, поступающая в пузырек, определяется выражением

${\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}$.

Здесь $A$ — это площадь поверхности пузыря. В силу сохранения массы $dm_{v}/dt=dm_{L}/dt$, поэтому $u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt$. Следовательно

$u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}$.

Таким образом, получаем

$F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}$.

Во многих случаях плотность жидкости значительно превышает плотность пара $\rho _{L}\gg \rho _{V}$, так что $F(t)$ может быть аппроксимирована исходной формой нулевого массопереноса $F(t)=R^{2}dR/dt$, так что

$u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}$.

Сохранение импульса

Полагая, что жидкость представляет собой ньютоновскую жидкость, несжимаемое уравнение Навье-Стокса в сферических координатах для движения в радиальном направлении, получаем

$\rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]$.

Замена кинематической вязкости $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ и перестановка даёт

$-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]$.

При этом подставляя $u(r,t)$ из условия сохранения массы, получаем

$-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}$.

Стоит отметить, что вязкие члены исчезают во время замены. Разделение переменных и интегрирование от границы пузырька $r=R$ к $r\rightarrow \infty$ даёт

$-{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr$

${{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

Граничные условия

Пусть $\sigma _{rr}$ — нормальное напряжение в жидкости, направленное радиально наружу от центра пузырька. В сферических координатах для жидкости постоянной плотности и постоянной вязкости

$\sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}$.

Следовательно, на некотором небольшом участке поверхности пузырька результирующая сила, действующая на пластинку, на единицу площади равна

${\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}},\\\end{aligned}}$

где $\sigma$ — это поверхностное натяжение. Если массопереноса через границу нет, то эта сила на единицу площади должна быть равна нулю, следовательно

$P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{R}}$.

И поэтому результат сохранения импульса становится

${\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}$

тем самым переставляя и заменяя $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$, получаем уравнение Рэлея — Плессета

${\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}$

Используя точечную запись для представления производных по времени, уравнение Рэлея — Плессета можно записать как:

${\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}$

Решения

В 2014 году были найдены аналитические решения в замкнутой форме для уравнения Рэлея — Плессета как для пустого, так и для газонаполненного пузырька и были обобщены на N-мерный случай. Также был изучен случай, когда поверхностное натяжение возникает за счёт эффекта капиллярности.

Кроме того, для частного случая, когда пренебрегают поверхностным натяжением и вязкостью, также известны аналитические аппроксимации высокого порядка.

В статическом случае уравнение Рэлея — Плессета упрощается, преобразуясь к уравнению Юнга — Лапласа:

$P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}$.

Когда рассматриваются только бесконечно малые периодические колебания радиуса и давления пузырька, уравнение Рэлея — Плессета также даёт выражение собственной частоты колебаний пузырька.