Уравнение ренормгруппы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнение ренормгруппы (уравнение Каллана — Симанчика, уравнение Овсянникова — Каллана — Симанчика) — дифференциальное уравнение для корреляционных функций (пропагаторов), показывающее их независимость от масштаба рассмотрения. Оно имеет место, например, при рассмотрении динамики системы вблизи критической точки.

Вид уравнения[править | править код]

Уравнение имеет вид:

где

  •  — корреляционная функция,
  •  — заряд (константа связи),
  •  — вспомогательный размерный параметр, называемый ренормировочной массой,
  •  — прочие параметры, характеризующие отклонение от критической точки,
  • для всех одинаков,
  • коэффициент при  — -функция, ,
  •  — аномальные размерности,
  •  — аномальная размерность функции .

В общем случае уравнение может быть расширено на любые ренорминвариантные величины — те величины, которые зависят только от затравочных параметров . Такими величинами, например, являются функции Грина и различные функционалы над ней (производящий функционал связных функций Грина , производящий функционал 1-неприводимых функций Грина ).

Соотношения, связывающие ренормированные и неренормированные производящие функционалы:

  • полных функций Грина , где ;
  • связных функций Грина , где .
  • 1-неприводимых функций Грина , где .

Тогда уравнение запишется в виде:

  • Для ренормированной связной функции :
    , где ,
  • Для ренормированной 1-неприводимой функции :
    , где

В обоих уравнениях . Коэффициенты при производных в операторе и величину называют РГ-функциями.

Физический смысл[править | править код]

При рассмотрении систем многих частиц, например, в квантовой теории поля или в теории критического поведения и стохастической динамике, часто оказывается, что функциональный интеграл, описывающий усреднение некоторой величины по различным конфигурациям системы, расходится. Тем не менее, оказывается возможным получить различную информацию о системе при помощи различных методов регуляризации и ренормировки. Одним из широко распространенных методов является мультипликативная ренормировка. Суть этого метода в том, что функции Грина являются обобщенно-однородными функциями параметров модели. Уже из этого свойства функций Грина можно многое сказать об их поведении вблизи критических точек, например, о критических показателях, если речь идет о критическом поведении систем многих частиц, или о том, как изменяется константа связи модели при изменении энергии взаимодействия частиц, если речь идет о квантовой электродинамике. При этом, уравнение ренормгруппы позволяет перейти от прямого анализа функций Грина модели непосредственно к анализу параметров и наблюдаемых величин.

Вывод уравнения[править | править код]

Вывод уравнения ренормгруппы основан на свойстве обобщенной однородности и гипотезе подобия.

Обозначим через и затравочное и перенормированное поля соответственно. Тогда парный коррелятор неперенормированных полей задается как , а перенормированных: . Согласно определению обобщенно-однородной (лямбда-однородной) функции набор наблюдаемых параметров системы. Теперь изменим немного параметры системы, но оставим неизменными импульс обрезания и затравочные константы. Очевидно, что при этом неперенормированные функции Грина не изменятся, так как они зависят только от импульса обрезания и затравочных констант. Поэтому полная производная по параметру \mu от обеих частей равна 0. Координаты частиц явно не зависят от масштаба . Следовательно, имеем:

Примечание[править | править код]

В некоторых источниках под уравнением ренормгруппы понимается не вышеописанное уравнение, а одно из его следствий:

.

И та, и другая форма уравнения ренормгруппы имеет как свои плюсы, так и минусы. К плюсам этой формы записи относится явный вид зависимости константы связи от масштаба энергии, к минусам — не очевидно, как выглядят аномальные размерности модели. Тем не менее, этот вид уравнения сыграл значительную роль в становлении квантовой электродинамики и теоретическом обосновании сильного взаимодействия.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: издательство ПИЯФ, 1998.