Фуксова особая точка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения

если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это — простейшая возможная особенность линейного дифференциального уравнения с комплексным временем.

Говорят также, что является фуксовой особой точкой, если точка оказывается фуксовой после замены , иными словами, если матрица системы стремится к нулю на бесконечности.


Простейший пример

[править | править код]

Одномерное дифференциальное уравнение имеет фуксову особую точку в нуле, а его решениями являются (вообще говоря, многозначные) функции . При обходе вокруг нуля решение при этом умножается на .

Рост решений и отображение монодромии

[править | править код]

При приближении к фуксовой особой точке в любом секторе норма решения растёт не быстрее, чем полиномиально:

для некоторых констант и . Тем самым, всякая фуксова особая точка является регулярной.

Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака-Левелля

[править | править код]

21-я проблема Гильберта

[править | править код]

Двадцать первая проблема Гильберта состояла в том, чтобы при заданных точках на сфере Римана и представлении фундаментальной группы дополнения к ним построить систему дифференциальных уравнений с фуксовыми особенностями в этих точках, для которой монодромия оказывается заданным представлением. Долгое время считалось, что эта проблема была положительно решена Племелем (опубликовавшим решение в 1908 году), однако в его решении в 1970-х годах Ю. С. Ильяшенко была обнаружена ошибка. На самом деле, конструкция Племеля позволяла строить требуемую систему при диагонализуемости хотя бы одной из матриц монодромии.[1]

В 1989 году А. А. Болибрухом был опубликован[2] пример набора особых точек и матриц монодромии, который не может быть реализован никакой фуксовой системой — тем самым, отрицательно решающий проблему.

Литература

[править | править код]
  1. Ю. С. Ильяшенко, «Нелинейная проблема Римана-Гильберта», Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, Сборник статей, Тр. МИАН, 213, Наука, М., 1997, с. 10-34.
  2. А. А. Болибрух, «Проблема Римана-Гильберта на комплексной проективной прямой», Матем. заметки, 46:3 (1989), 118—120
  • А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений, М.: МЦНМО, 2009.
  • Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.