Функтор прямого образа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Функтор прямого образа — это обобщение понятия сечения пучка на относительный случай.

Определение

[править | править код]

Пусть f: XY — непрерывное отображение топологических пространств, и Sh(-) обозначает категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Функтор прямого образа

переводит пучок F на X в предпучок

который оказывается пучком на Y.

Эта операция функториальна, в том смысле, что морфизм пучков φ: FG на X порождает морфизм пучков f(φ): f(F) → f(G) на Y.

Если Y — это точка, то функтор прямого образа совпадает с функтором глобальных сечений.

Высшие прямые образы

[править | править код]

Функтор прямого образа точен слева, но, вообще говоря, не точен справа. Следовательно, можно рассмотреть правые производные функторы функтора прямого образа. Они называются высшими прямыми образами и обозначаются Rq f.

Для высших прямых образов можно дать выражение, сходное с выражением для прямых образов: для пучка F на X, Rq f(F) — это пучок, ассоциированный с предпучком

  • Функтор прямого образа сопряжён справа к функтору обратного образа, то есть для любого непрерывного отображения и на X, Y соответственно, существует естественный изоморфизм
.
  • Если f — вложение замкнутого подпространства XY то f точен. Более того, в этом случае f является эквивалентностью категорий между пучками на X и пучками на Y с носителем в X. Это следует из того факта, что слой равен , если и равен нулю иначе (здесь используется замкнутость X в Y).

Литература

[править | править код]
  • Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.